Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração. integral0^1 integraly^2^2-y f(x, y) d x d y

Passo 1

Então, a gente tem uma integral dupla: . O exercício pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem das integrações. Para isso, vamos precisar entender quais são os limites de e e como eles definem a região no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que limitam a região de integração. No caso, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Ou seja:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de a .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. Para isso, desenhamos as curvas (que é uma parábola aberta para a direita) e (que é uma reta decrescente).

Passo 4

Encontramos o ponto onde essas curvas se intersectam resolvendo y^2 + y - 2 = 0 :
y = 1 ou y = -2
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Como está entre 0 e 1, o ponto de interseção relevante é , que corresponde a .

Passo 5

Agora, para trocar a ordem das integrações, queremos expressar em termos de . Observamos que:
  • A curva pode ser reescrita como (considerando ).
  • A reta pode ser reescrita como .

Passo 6

Determinar os novos limites para . Vemos que:
  • varia de 0 até 1 (já que no ponto de interseção, ).
  • Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 7

Com os novos limites definidos, reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralraizx^2 - x f(x, y) , dy , dx

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é:
integral0^1 integralraizx^2 - x f(x, y) , dy , dx

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