Esboce a região de integração e faça a mudança da orden de integração.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral dupla:
. O exercício pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem das integrações. Para isso, vamos precisar entender quais são os limites de
e
e como eles definem a região no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que limitam a região de integração. No caso, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
. Ou seja:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de a .
Passo 3
Vamos esboçar essa região. Para isso, desenhamos as curvas
(que é uma parábola aberta para a direita) e
(que é uma reta decrescente).
Passo 4
Encontramos o ponto onde essas curvas se intersectam resolvendo
:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Como
está entre 0 e 1, o ponto de interseção relevante é
, que corresponde a
.
Passo 5
Agora, para trocar a ordem das integrações, queremos expressar
em termos de
. Observamos que:
- A curva
pode ser reescrita como (considerando ). - A reta
pode ser reescrita como .
Passo 6
Determinar os novos limites para
. Vemos que:
-
varia de 0 até 1 (já que no ponto de interseção, ). - Para cada
nesse intervalo, varia de até .
Passo 7
Com os novos limites definidos, reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é:
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Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Detemine as derivadas parciais
e
da função dada por
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.
,
é o disco com centro na origem e raio
Utilize a Propriedade 11 para estimar o valor da integral.