Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois dizer se cada ponto crítico é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações zero (ou seja, onde podem estar esses pontos críticos).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Como temos uma função que é uma divisão de duas funções (numerador e denominador), vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, calcule :
Depois, calcule :
Primeiro, expanda :
Multiplicando por 5:

Passo 6

Agora, subtraia os dois resultados:
Então, a derivada fica:

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
O denominador nunca é zero porque não tem raízes reais (o discriminante ), então precisamos apenas resolver o numerador igual a zero:

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Como , que é positivo, temos duas soluções reais:
Então:

Passo 9

Então, os pontos críticos são e .
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada .

Passo 10

Calculando a segunda derivada , a partir da derivada primeira :
Para simplificar, vamos chamar:
A segunda derivada será:
Calculando e :

Passo 11

Substituindo na expressão da segunda derivada:
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.

Passo 12

Vamos avaliar em e :
Para :
Substituindo na segunda derivada (após simplificação):
Isso indica que a função está “curvando para baixo” nesse ponto, então é um máximo relativo.
Para :
Substituindo na segunda derivada (após simplificação):
Isso indica que a função está “curvando para cima” nesse ponto, então é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são (m��ximo relativo) e (mínimo relativo).

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Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que ;