Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois dizer se cada ponto crítico é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinações zero (ou seja, onde podem estar esses pontos críticos).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Como temos uma função que é uma divisão de duas funções (numerador e denominador), vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, calcule
:
Depois, calcule
:
Primeiro, expanda
:
Multiplicando por 5:
Passo 6
Agora, subtraia os dois resultados:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
O denominador nunca é zero porque
não tem raízes reais (o discriminante
), então precisamos apenas resolver o numerador igual a zero:
Passo 8
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como
, que é positivo, temos duas soluções reais:
Então:
Passo 9
Então, os pontos críticos são
e
.
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada
.
Passo 10
Calculando a segunda derivada
, a partir da derivada primeira
:
Para simplificar, vamos chamar:
A segunda derivada será:
Calculando
e
:
Passo 11
Substituindo na expressão da segunda derivada:
Isso pode ser simplificado, mas para facilitar, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.
Passo 12
Vamos avaliar
em
e
:
Para
:
Substituindo na segunda derivada (após simplificação):
Isso indica que a função está “curvando para baixo” nesse ponto, então
é um máximo relativo.
Para
:
Substituindo na segunda derivada (após simplificação):
Isso indica que a função está “curvando para cima” nesse ponto, então
é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
(m��ximo relativo) e
(mínimo relativo).
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;