Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função
. Os tópicos que vamos usar aqui são derivadas primeiro e segundo para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, e também para encontrar extremos relativos e pontos de inflexão. Vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
para saber onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de
pode ser calculada usando a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada primeira
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Sabemos que
é sempre positivo, pois é a raiz quadrada de uma soma positiva. Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador, que é
.
- Se
, : a função está crescendo. - Se
, : a função está decrescendo. - Se
, : possível extremo relativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os extremos relativos. Sabemos que quando a derivada é zero ou não existe, podemos ter um ponto de máximo ou mínimo.
Como
, vamos verificar se é um extremo:
- Para
, (função decresce). - Para
, (função cresce).
Isso indica que em
ocorre um ponto de mínimo relativo.
Passo 5
Vamos agora encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade da função
.
Primeiro, reescrevemos
. Vamos derivar isso em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Analisando a derivada segunda
:
Essa expressão é sempre positiva porque o denominador
é sempre positivo. Logo, a concavidade da função é sempre para cima em todo o domínio.
Como não há mudança na concavidade, não temos pontos de inflexão.
Resposta
A função
é crescente para todo
e decrescente para todo
. A concavidade da função é sempre para cima em todo o seu domínio. Há um mínimo relativo em
. Não existem pontos de inflexão. O esboço da curva apresenta uma forma de “V” suavizada, com o ponto mínimo no origem.
Exercícios relacionados
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Uma epidemiologista observa que uma certa doença se dissemina de tal forma que,
semanas após o início de um surto,
centenas de casos novos são relatados, onde
Determine
e
.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
.