Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função . Os tópicos que vamos usar aqui são derivadas primeiro e segundo para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, sua concavidade, e também para encontrar extremos relativos e pontos de inflexão. Vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de para saber onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de pode ser calculada usando a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada primeira para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Sabemos que é sempre positivo, pois é a raiz quadrada de uma soma positiva. Portanto, o sinal de depende apenas do numerador, que é .
  • Se , : a função está crescendo.
  • Se , : a função está decrescendo.
  • Se , : possível extremo relativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os extremos relativos. Sabemos que quando a derivada é zero ou não existe, podemos ter um ponto de máximo ou mínimo.
Como , vamos verificar se é um extremo:
  • Para , (função decresce).
  • Para , (função cresce).
Isso indica que em ocorre um ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Vamos agora encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade da função .
Primeiro, reescrevemos . Vamos derivar isso em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Analisando a derivada segunda :
Essa expressão é sempre positiva porque o denominador é sempre positivo. Logo, a concavidade da função é sempre para cima em todo o domínio.
Como não há mudança na concavidade, não temos pontos de inflexão.

Resposta

A função é crescente para todo e decrescente para todo . A concavidade da função é sempre para cima em todo o seu domínio. Há um mínimo relativo em . Não existem pontos de inflexão. O esboço da curva apresenta uma forma de “V” suavizada, com o ponto mínimo no origem.

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Determine e .
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, sabendo que .