Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar onde a concavidade está para cima ou para baixo. Também vamos encontrar os extremos relativos (pontos de máximo e mínimo) e os pontos de inflexão, e finalizar com um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A primeira derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A função é . Vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da primeira derivada .
  • O termo é sempre positivo.
  • é sempre positivo ou zero.
  • muda de sinal dependendo de .
Então:
  • Se , ⇒ Crescente.
  • Se , ⇒ Decrescente.
  • Em e , a derivada é zero, pontos críticos.

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada nos diz se a curva está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Com a segunda derivada , vamos ver onde a concavidade muda:
  • Se , ⇒ Concavidade para cima.
  • Se , ⇒ Concavidade para baixo.
  • Em e , a concavidade pode mudar, pontos de inflexão.

Passo 6

Vamos identificar os extremos relativos. Os pontos críticos são e .
  • Em : Como a função muda de decrescente para crescente, é um ponto de mínimo.
  • Em : A derivada é zero, mas não há mudança no sinal (é um ponto de inflexão).
Agora, para os pontos de inflexão, onde a concavidade muda:

Passo 7

Finalmente, vamos resumir tudo e esboçar o gráfico:
  • Crescente:
  • Decrescente:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
  • Ponto de mínimo:
  • Pontos de inflexão: e

Resposta

A função está:
  • Crescente em
  • Decrescente em
  • Concavidade para cima em
  • Concavidade para baixo em
Possui um ponto de mínimo relativo em e pontos de inflexão em e . O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando a curva decrescendo até , crescendo após esse ponto, com mudanças na concavidade nos valores de e .

Exercícios relacionados

Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que .
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: