Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo, além de identificar onde a concavidade está para cima ou para baixo. Também vamos encontrar os extremos relativos (pontos de máximo e mínimo) e os pontos de inflexão, e finalizar com um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A primeira derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A função é
. Vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da primeira derivada
.
- O termo
é sempre positivo. -
é sempre positivo ou zero. -
muda de sinal dependendo de .
Então:
- Se
, → ⇒ Crescente. - Se
, → ⇒ Decrescente. - Em
e , a derivada é zero, pontos críticos.
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada nos diz se a curva está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Com a segunda derivada
, vamos ver onde a concavidade muda:
- Se
, ⇒ Concavidade para cima. - Se
, ⇒ Concavidade para baixo. - Em
e , a concavidade pode mudar, pontos de inflexão.
Passo 6
Vamos identificar os extremos relativos. Os pontos críticos são
e
.
- Em
: Como a função muda de decrescente para crescente, é um ponto de mínimo. - Em
: A derivada é zero, mas não há mudança no sinal (é um ponto de inflexão).
Agora, para os pontos de inflexão, onde a concavidade muda:
Passo 7
Finalmente, vamos resumir tudo e esboçar o gráfico:
- Crescente:
- Decrescente:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Ponto de mínimo:
- Pontos de inflexão:
e
Resposta
A função
está:
- Crescente em
- Decrescente em
- Concavidade para cima em
- Concavidade para baixo em
Possui um ponto de mínimo relativo em
e pontos de inflexão em
e
. O esboço do gráfico reflete essas características, mostrando a curva decrescendo até
, crescendo após esse ponto, com mudanças na concavidade nos valores de
e
.
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Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
.
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: