Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de várias variáveis. A questão nos pede para determinar se o limite existe quando
se aproxima de
para a função:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com limites em mais de duas variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta próximo do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que
aparece tanto no seno quanto na raiz quadrada. Vamos chamar essa expressão de
, onde:
Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Isso é uma aproximação da série de Taylor para o seno perto de 0.
Passo 4
Aplicando essa aproximação, temos:
Então, a função fica aproximadamente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Passo 6
Como a aproximação
tende a 0 quando
, podemos concluir que o limite original também tende a 0.
Resposta
O limite existe e seu valor é 0.
Exercícios relacionados
Use a diferencial total para aproximar a variação em
quando
varia de
para
.
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh
e
, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico das mesmas.
Mostre que,
, vale a igualdade
.
Encontre a derivada das funções a seguir.
33.
Resp.:
33.
Resp.: