Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de várias variáveis. A questão nos pede para determinar se o limite existe quando se aproxima de para a função:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com limites em mais de duas variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta próximo do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que aparece tanto no seno quanto na raiz quadrada. Vamos chamar essa expressão de , onde:
Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , . Isso é uma aproximação da série de Taylor para o seno perto de 0.

Passo 4

Aplicando essa aproximação, temos:
Então, a função fica aproximadamente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:

Passo 6

Como a aproximação tende a 0 quando , podemos concluir que o limite original também tende a 0.

Resposta

O limite existe e seu valor é 0.

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Use a diferencial total para aproximar a variação em quando varia de para .
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh e , respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico das mesmas.
Mostre que, , vale a igualdade .
Encontre a derivada das funções a seguir.
33.
Resp.: