As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh x = (e^x - e^(-x)) / 2 e cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para x -> +- infinito e esboce o gráfico das mesmas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico ( ), definidas por:
A questão quer que a gente calcule o limite dessas funções quando tende a mais infinito ( ) e menos infinito ( x), além de esboçar o gráfico delas. Para isso, vamos precisar entender o comportamento das exponenciais +infinito e -infinito quando e^x aumenta ou diminui bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a x. Olha só:
Quando +infinito vai para , x cresce muito, enquanto +infinito, que é e^x, vai para zero. Então, o termo e^-x se torna insignificante comparado a . Assim:

Passo 3

Agora, vamos ver o limite de quando tende a x:
Quando -infinito vai para , x tende a zero, porque é -infinito com e^x grande. Já cresce muito. Então:

Passo 4

Vamos agora calcular os limites da . Primeiro, para x tendendo a +infinito:
Como antes, e^x cresce muito e e^-x vai para zero. Então:

Passo 5

Agora, o limite de quando x tende a -infinito:
Aqui, e^x vai para zero e e^-x cresce para infinito. Então:

Passo 6

Então, resumindo os limites que encontramos:
Agora, vamos pensar no gráfico. A é uma função ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, subindo para a direita e descendo para a esquerda. Já a é uma função par, simétrica em relação ao eixo y, com um mínimo no ponto e subindo para ambos os lados.

Resposta

Os limites são:
O gráfico de é uma curva que sobe para a direita e desce para a esquerda, enquanto o gráfico de tem forma de “U” aberto para cima, com mínimo em e subindo para ambos os lados.

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