As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh
e
, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico das mesmas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico (
), definidas por:
A questão quer que a gente calcule o limite dessas funções quando
tende a mais infinito (
) e menos infinito (
), além de esboçar o gráfico delas. Para isso, vamos precisar entender o comportamento das exponenciais
e
quando
aumenta ou diminui bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de quando
tende a
. Olha só:
Quando
vai para
,
cresce muito, enquanto
, que é
, vai para zero. Então, o termo
se torna insignificante comparado a
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos ver o limite de quando
tende a
:
Quando
vai para
,
tende a zero, porque é
com
grande. Já
cresce muito. Então:
Passo 4
Vamos agora calcular os limites da
. Primeiro, para
tendendo a
:
Como antes,
cresce muito e
vai para zero. Então:
Passo 5
Agora, o limite de
quando
tende a
:
Aqui,
vai para zero e
cresce para
. Então:
Passo 6
Então, resumindo os limites que encontramos:
Agora, vamos pensar no gráfico. A é uma função ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, subindo para a direita e descendo para a esquerda. Já a
é uma função par, simétrica em relação ao eixo y, com um mínimo no ponto
e subindo para ambos os lados.
Resposta
Os limites são:
O gráfico de é uma curva que sobe para a direita e desce para a esquerda, enquanto o gráfico de
tem forma de “U” aberto para cima, com mínimo em
e subindo para ambos os lados.
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
, então a aproximação linear local da função
em
é
.
Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.
Use a diferencial total para aproximar a variação em
quando
varia de
para
.
Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor: