As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh e , respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico das mesmas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico ( ), definidas por:
A questão quer que a gente calcule o limite dessas funções quando tende a mais infinito ( ) e menos infinito ( ), além de esboçar o gráfico delas. Para isso, vamos precisar entender o comportamento das exponenciais e quando aumenta ou diminui bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a . Olha só:
Quando vai para , cresce muito, enquanto , que é , vai para zero. Então, o termo se torna insignificante comparado a . Assim:

Passo 3

Agora, vamos ver o limite de quando tende a :
Quando vai para , tende a zero, porque é com grande. Já cresce muito. Então:

Passo 4

Vamos agora calcular os limites da . Primeiro, para tendendo a :
Como antes, cresce muito e vai para zero. Então:

Passo 5

Agora, o limite de quando tende a :
Aqui, vai para zero e cresce para . Então:

Passo 6

Então, resumindo os limites que encontramos:
Agora, vamos pensar no gráfico. A é uma função ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, subindo para a direita e descendo para a esquerda. Já a é uma função par, simétrica em relação ao eixo y, com um mínimo no ponto e subindo para ambos os lados.

Resposta

Os limites são:
O gráfico de é uma curva que sobe para a direita e desce para a esquerda, enquanto o gráfico de tem forma de “U” aberto para cima, com mínimo em e subindo para ambos os lados.

Exercícios relacionados

Mostre que se e , então a aproximação linear local da função em é .
Encontre as equações da reta tangente e normal à curva no ponto dado.
Use a diferencial total para aproximar a variação em quando varia de para .
Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor: