Use a diferencial total para aproximar a variação em
quando
varia de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a diferencial total para aproximar a variação da função
quando o ponto
muda de
para
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre diferenciais. Vamos precisar calcular as parciais da função e aplicar a fórmula da diferencial total para encontrar a variação aproximada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a diferencial total. Para uma função de várias variáveis, a diferencial total nos dá uma aproximação de como a função varia quando cada uma das variáveis muda um pouquinho. A fórmula geral é:
Onde
,
, e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente, e
,
,
são as variações nessas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analogamente, para
e
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Primeiro, calculemos
em
:
Agora, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos identificar as variações
,
, e
de
para
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da diferencial total:
Substituindo os valores calculados:
Resposta
A variação aproximada em
ao ir de
para
é de 0.58 unidades.
Exercícios relacionados
As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh
e
, respectivamente. Calcule o limite dessas funções para
e esboce o gráfico das mesmas.
Mostre que se
e
, então a aproximação linear local da função
em
é
.
Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor:
Mostre que,
, vale a igualdade
.