Use a diferencial total para aproximar a variação em quando varia de para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a diferencial total para aproximar a variação da função quando o ponto muda de para . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre diferenciais. Vamos precisar calcular as parciais da função e aplicar a fórmula da diferencial total para encontrar a variação aproximada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a diferencial total. Para uma função de várias variáveis, a diferencial total nos dá uma aproximação de como a função varia quando cada uma das variáveis muda um pouquinho. A fórmula geral é:
Onde , , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente, e , , são as variações nessas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analogamente, para e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, calculemos em :
Agora, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos identificar as variações , , e de para .

Passo 6

Aplicando a fórmula da diferencial total:
Substituindo os valores calculados:

Resposta

A variação aproximada em ao ir de para é de 0.58 unidades.

Exercícios relacionados

As funções seno e cosseno hiperbólicos são definidos por senh e , respectivamente. Calcule o limite dessas funções para e esboce o gráfico das mesmas.
Mostre que se e , então a aproximação linear local da função em é .
Determime se o limite existe e, em caso afirmativo, encontre seu valor:
Mostre que, , vale a igualdade .