Mostre que, ∀ x ≥ 1, vale a igualdade ln((x + raiz(x^2 - 1))/(x - raiz(x^2 - 1))) = 2 ln(x + raiz(x^2 - 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, para todo ,
Isso envolve trabalhar com propriedades dos logaritmos e simplificação de expressões algébricas. Vamos precisar usar regras de logaritmos, como a divisão e a multiplicação dentro do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o lado esquerdo da igualdade:
Sabemos que . Então, vamos aplicar essa propriedade:

Passo 3

Agora, vamos focar na expressão . Note que podemos reescrever de uma forma mais conveniente para simplificar. Vamos multiplicar numerador e denominador por :
Então, temos:

Passo 4

Voltando à expressão que tínhamos no passo 2:

Resposta

Então, mostramos que
está correto para todo .

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