Determina a aproximação linear da função f(x, y) = 1 - xy cos(pi y) em 1,1 e use-a para aproximar o número f(1.02, 0.97).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a aproximação linear da função no ponto . Isso vai nos ajudar a estimar o valor de . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e montar a equação da reta tangente à superfície definida por no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Com essas informações, podemos montar a aproximação linear usando a fórmula:
Onde :

Passo 6

Agora, vamos usar essa aproximação linear para estimar :

Resposta

A aproximação linear de é 1.99.

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