Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z = 3y^2 - 2y^2 + x (2, -1, -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação do plano tangente à superfície no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da superfície. Observamos que , então a superfície fica:

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado . Substituindo :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
(a) f(x, y) = e^x cos(x y), P = (0, 0).
Encontre x*y + y^2 = 2, encontre d²y/dx².
Determina a aproximação linear da função f(x, y) = 1 - xy cos(pi y) em 1,1 e use-a para aproximar o número f(1.02, 0.97).
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y) = x^2 + x * y