Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e ver se elas existem e são contínuas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais no ponto
, precisamos verificar a continuidade dessas derivadas em
. Se as derivadas parciais existem e são contínuas em
, então a função é diferenciável nesse ponto.
Observando as derivadas parciais:
Percebe-se que ambas são funções compostas de funções exponenciais, senos e cossenos, que são contínuas em todos os pontos. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
porque suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele.
Exercícios relacionados
Encontre
, encontre
.
Dadas as funções
e
, determine:
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Determina a aproximação linear da função
em
e use-a para aproximar o número
.