Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
(a) f(x, y) = e^x cos(x y), P = (0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e ver se elas existem e são contínuas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais no ponto , precisamos verificar a continuidade dessas derivadas em . Se as derivadas parciais existem e são contínuas em , então a função é diferenciável nesse ponto.
Observando as derivadas parciais:
Percebe-se que ambas são funções compostas de funções exponenciais, senos e cossenos, que são contínuas em todos os pontos. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em .

Resposta

Sim, a função é diferenciável no ponto porque suas derivadas parciais existem nesse ponto e são contínuas ao redor dele.

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