Se a temperatura na atmosfera varia linearmente com a altitude de tal forma que T(z)=T0-alpha z, com z como altitude, T0 como a temperatura no nível do mar e alpha como a taxa de decaimento da temperatuta com a altitude, pede-se: Determine uma expressão para a pressão atmosférica em função da altitude z. Assuma que o ar se comporta como um gás perfeito. Dê sua resposta em função de p0 (pressão atmosférica ao nível do mar), alpha, g (gravidade), R (constante universal dos gases perfeitos) e z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação em que a temperatura da atmosfera diminui de forma linear à medida que aumentamos a altitude. A função que descreve essa variação é , onde:
  • é a altitude,
  • é a temperatura ao nível do mar,
  • é a taxa de decaimento da temperatura com a altitude.
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a pressão atmosférica em função da altitude . Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a Lei dos Gases Perfeitos e a Equação Hidroestática.

Passo 2

Vamos começar lembrando a Lei dos Gases Perfeitos, que relaciona pressão pV = nRT , volume p = rho R T , temperatura e a quantidade de gás :
onde é a constante universal dos gases perfeitos.
Como estamos considerando uma camada de ar, podemos reescrever essa equação em termos de densidade (massa por unidade de volume):
Aqui, , onde é a massa do ar.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a Equação Hidroestática, que expressa o equilíbrio de forças em uma coluna de ar:
dpdz = -rho g
onde é a aceleração da gravidade.
Essa equação nos diz que a variação da pressão com a altitude é proporcional à densidade do ar e à gravidade. O sinal negativo indica que a pressão diminui conforme aumentamos a altitude.

Passo 4

Substituindo a expressão da pressão da Lei dos Gases Perfeitos na Equação Hidroestática, temos:
dpdz = -pRT g
Lembrando que dpdz = -pR(T0 - alpha z) g é função da altitude: . Substituindo isso na equação:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para integrar a equação diferencial:
dpp = -gR(T0 - alpha z) dz
Nossa meta é encontrar , então precisamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral 1p dp = -gR integral 1T0 - alpha z dz
A integral do lado esquerdo é ln p = gR alpha ln(T0 - alpha z) + C , e a integral do lado direito envolve uma função simples:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para p = e^C cdot (T0 - alpha z)^gR alpha exponenciando ambos os lados da equação:
p0 = e^C cdot T0^gR alpha
Podemos substituir p(z) = p0 ( T0 - alpha zT0 )^gR alpha por uma nova constante , que representa a pressão ao nível do mar ( ):
Assim, a expressão para fica:

Resposta

A pressão atmosférica em função da altitude p(z) = p0 (1 - alpha zT0)^gR alpha é dada por:
onde:
  • é a pressão ao nível do mar,
  • é a taxa de decaimento da temperatura com a altitude,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a constante universal dos gases perfeitos,
  • é a altitude.

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