Se a temperatura na atmosfera varia linearmente com a altitude de tal forma que
, com
como altitude,
como a temperatura no nível do mar e
como a taxa de decaimento da temperatuta com a altitude, pede-se: Determine uma expressão para a pressão atmosférica em função da altitude z. Assuma que o ar se comporta como um gás perfeito. Dê sua resposta em função de
(pressão atmosférica ao nível do mar),
(gravidade),
(constante universal dos gases perfeitos) e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação em que a temperatura da atmosfera diminui de forma linear à medida que aumentamos a altitude. A função que descreve essa variação é
, onde:
-
é a altitude, -
é a temperatura ao nível do mar, -
é a taxa de decaimento da temperatura com a altitude.
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a pressão atmosférica
em função da altitude
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a Lei dos Gases Perfeitos e a Equação Hidroestática.
Passo 2
Vamos começar lembrando a Lei dos Gases Perfeitos, que relaciona pressão
, volume
, temperatura
e a quantidade de gás
:
onde
é a constante universal dos gases perfeitos.
Como estamos considerando uma camada de ar, podemos reescrever essa equação em termos de densidade
(massa por unidade de volume):
Aqui,
, onde
é a massa do ar.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a Equação Hidroestática, que expressa o equilíbrio de forças em uma coluna de ar:
onde
é a aceleração da gravidade.
Essa equação nos diz que a variação da pressão com a altitude é proporcional à densidade do ar e à gravidade. O sinal negativo indica que a pressão diminui conforme aumentamos a altitude.
Passo 4
Substituindo a expressão da pressão da Lei dos Gases Perfeitos na Equação Hidroestática, temos:
Lembrando que
é função da altitude:
. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para integrar a equação diferencial:
Nossa meta é encontrar
, então precisamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 6
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
, e a integral do lado direito envolve uma função simples:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos substituir
por uma nova constante
, que representa a pressão ao nível do mar (
):
Assim, a expressão para
fica:
Resposta
A pressão atmosférica em função da altitude
é dada por:
onde:
-
é a pressão ao nível do mar, -
é a taxa de decaimento da temperatura com a altitude, -
é a aceleração da gravidade, -
é a constante universal dos gases perfeitos, -
é a altitude.