Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde
é uma constante.
a) Determine a densidade de carga como uma função da posição.
a) Determine a densidade de carga como uma função da posição.
Passo 1
Neste exercício, vamos trabalhar com eletrostática, que é a parte da física que estuda os campos elétricos gerados por cargas estáticas. A situação apresentada é uma configuração de carga que é esfericamente simétrica, ou seja, sua distribuição de carga é a mesma em todas as direções a partir do centro. Nosso objetivo é determinar a densidade de carga
em função da posição a partir do campo elétrico fornecido.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga com a própria distribuição de carga. A Lei de Gauss é especialmente útil em situações com simetria, como a esfericamente simétrica do nosso exercício.
Passo 3
A Lei de Gauss é expressa pela equação:
Aqui:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície fechada. -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo.
Para uma distribuição esfericamente simétrica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
, centrada na distribuição de carga. Devido à simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.
Passo 4
Substituindo na Lei de Gauss, temos:
Aqui,
é a área da superfície gaussiana esférica.
Passo 5
A carga interna
pode ser relacionada à densidade de carga
por meio da integral:
Onde
é a variável de integração representando a posição radial dentro da esfera.
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da Lei de Gauss:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Para encontrar
, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Simplificando:
Rearranjando para isolar
:
Resposta
A densidade de carga em função da posição
é:
Exercícios relacionados
Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com
. Considere o disco no plano
com seu eixo ao longo do eixo
.
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto é
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto
Seja,
b) Determine D em r=1 m e r =
.
Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com
. Considere o disco no plano
com seu eixo ao longo do eixo
.
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto é
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto
Uma lâmina finita
, sobre o plano
, tem uma densidade de carga dada por
. Determine
c) A força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em
c) A força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em