Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde é uma constante.
a) Determine a densidade de carga como uma função da posição.

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com eletrostática, que é a parte da física que estuda os campos elétricos gerados por cargas estáticas. A situação apresentada é uma configuração de carga que é esfericamente simétrica, ou seja, sua distribuição de carga é a mesma em todas as direções a partir do centro. Nosso objetivo é determinar a densidade de carga em função da posição a partir do campo elétrico fornecido.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga com a própria distribuição de carga. A Lei de Gauss é especialmente útil em situações com simetria, como a esfericamente simétrica do nosso exercício.

Passo 3

A Lei de Gauss é expressa pela equação:
Aqui:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície fechada.
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo.
Para uma distribuição esfericamente simétrica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio , centrada na distribuição de carga. Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.

Passo 4

Substituindo na Lei de Gauss, temos:
Aqui, é a área da superfície gaussiana esférica.

Passo 5

A carga interna pode ser relacionada à densidade de carga por meio da integral:
Onde é a variável de integração representando a posição radial dentro da esfera.

Passo 6

Agora, substituímos na equação da Lei de Gauss:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Para encontrar , derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Simplificando:
Rearranjando para isolar :

Resposta

A densidade de carga em função da posição é:

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Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com . Considere o disco no plano com seu eixo ao longo do eixo .
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto é
Seja,
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