Uma determinada configuração de carga, esfericamente simétrica e imersa no espaço livre, produz um campo elétrico fornecido em coordenadas esféricas por onde rho0 é uma constante.
a) Determine a densidade de carga como uma função da posição.

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com eletrostática, que é a parte da física que estuda os campos elétricos gerados por cargas estáticas. A situação apresentada é uma configuração de carga que é esfericamente simétrica, ou seja, sua distribuição de carga é a mesma em todas as direções a partir do centro. Nosso objetivo é determinar a densidade de carga em função da posição a partir do campo elétrico fornecido.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos utilizar a Lei de Gauss, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga com a própria distribuição de carga. A Lei de Gauss é especialmente útil em situações com simetria, como a esfericamente simétrica do nosso exercício.

Passo 3

A Lei de Gauss é expressa pela equação:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície fechada.
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo.
Para uma distribuição esfericamente simétrica, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio , centrada na distribuição de carga. Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.

Passo 4

Substituindo na Lei de Gauss, temos:
E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Aqui, é a área da superfície gaussiana esférica.

Passo 5

A carga interna Qinterno = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' pode ser relacionada à densidade de carga por meio da integral:
Onde é a variável de integração representando a posição radial dentro da esfera.

Passo 6

Agora, substituímos E cdot 4pi r^2 = 1varepsilon0 integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' na equação da Lei de Gauss:
E = 1varepsilon0 r^2 integral0^r rho(r') cdot r'^2 dr'
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Para encontrar dEdr = 1varepsilon0 r^2 cdot rho(r) cdot r^2 + -2varepsilon0 r^3 integral0^r rho(r') cdot r'^2 dr' , derivamos ambos os lados da equação em relação a dEdr = rho(r)varepsilon0 - 2Er :
rho(r) = varepsilon0 ( dEdr + 2Er )
Simplificando:
Rearranjando para isolar :

Resposta

A densidade de carga em função da posição rho(r) = varepsilon0 ( dEdr + 2Er ) é:

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