Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com rhos C / m^2. Considere o disco no plano z=0 com seu eixo ao longo do eixo z.
c) Demonstre que o campo elétrico no ponto (0,0, h) é
E=rhoS2 varepsilono1-h[h^2+a^2]^1 / 2 az

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco circular com raio carregado de forma uniforme com uma densidade superficial de carga . O disco está no plano e queremos encontrar o campo elétrico no ponto . Vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente o cálculo do campo elétrico de uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico produzido por uma carga é dado pela Lei de Coulomb. Para distribuições contínuas, usamos uma integral para somar os efeitos de todas as pequenas partes de carga. No nosso caso, como a carga está distribuída uniformemente no disco, vamos considerar um anel infinitesimal no disco e calcular o campo elétrico devido a esse anel.

Passo 3

Vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis de raio e espessura . A carga em cada anel é . O campo elétrico gerado por esse anel no ponto tem apenas componente na direção , já que as componentes horizontais se cancelam pela simetria.

Passo 4

A contribuição do campo elétrico do anel no ponto dEz = 14pi varepsilon0 cdot dq cdot h(h^2 + r^2)^3/2 é dada por:
dEz = rhos cdot 2pi r dr cdot h4pi varepsilon0 (h^2 + r^2)^3/2 = rhos h r dr2 varepsilon0 (h^2 + r^2)^3/2
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto Ez = integral0^a rhos h r2 varepsilon0 (h^2 + r^2)^3/2 dr , integramos de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição Ez = rhos h4 varepsilon0 integralh^2^h^2 + a^2 u^-3/2 du , temos Ez = rhos h4 varepsilon0 [ -2 u^-1/2 ]h^2^h^2 + a^2 = rhos h2 varepsilon0 ( 1raizh^2 - 1raizh^2 + a^2 ) ou . A integral fica:
Integrando:

Passo 7

Simplificando Ez = rhos h2 varepsilon0 ( 1h - 1raizh^2 + a^2 ) = rhos2 varepsilon0 ( 1 - hraizh^2 + a^2 ) , temos:

Resposta

O campo elétrico no ponto E = rhos2 varepsilono 1 - hraizh^2 + a^2 az é

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