Um determinada empresa estima que o custo marginal, em reais, para produzir unidades de uma determinada peça é . Sabendo que o custo marginalé dada pela taxa de variação da função custo e que o custo marginal, para a produção 1000 dessas peças, é 0.25 centavos, determine o custo da produção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre custo marginal, que é basicamente como o custo muda quando a gente produz mais uma unidade de um produto. A gente tem uma função para o custo marginal: , onde é a quantidade de peças produzidas. Nosso objetivo é descobrir o custo total para produzir 1000 peças, sabendo que o custo marginal para 1000 peças é 0.25 reais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o custo marginal é a derivada do custo total. Ou seja, se é o custo total para produzir peças, então:
Para encontrar , precisamos integrar a função do custo marginal.

Passo 3

Vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar a constante , vamos supor que o custo é zero quando não produzimos nada, ou seja, quando :
Então, . Assim, a função do custo total fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo total para produzir 1000 peças:
Calculando cada parte:
Somando os dois valores:

Resposta

O custo total para produzir 1000 peças é 150 reais.

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