Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
integral 6 x^2 sen(x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a antiderivada da função . Isso significa que precisamos integrar essa função. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integração. Observando , vemos que a expressão u = x^3 está dentro do seno e também aparece multiplicada por dudx = 3x^2 .
Então, vamos fazer a seguinte substituição:
x^2dx = du3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Para facilitar a substituição, vamos isolar :

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Agora, integrar é bem direto:
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos desfazer a substituição que fizemos inicialmente. Lembrando que -2cos(u) + C = -2cos(x^3) + C , substituímos de volta:

Resposta

A antiderivada da função é:
-2cos(x^3) + C

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