Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a antiderivada da função . Isso significa que precisamos integrar essa função. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integração. Observando , vemos que a expressão
está dentro do seno e também aparece multiplicada por
.
Então, vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Para facilitar a substituição, vamos isolar
:
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Agora, integrar é bem direto:
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos desfazer a substituição que fizemos inicialmente. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A antiderivada da função é:
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Um determinada empresa estima que o custo marginal, em reais, para produzir
unidades de uma determinada peça é
. Sabendo que o custo marginalé dada pela taxa de variação da função custo e que o custo marginal, para a produção 1000 dessas peças, é 0.25 centavos, determine o custo da produção.
Lança-se uma pedra verticalmente para cima, de um ponto situado a 144 m acima do solo, com uma velocidade de
. Desprezando-se a resistência do ar, determine a distância acima do solo alcançada após
segundos. Durante quanto tempo a pedra sobe? Quando e com que velocidade a pedra atinge o solo de volta?
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Encontre a solução completa da equação diferencial
.