Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a antiderivada da função . Isso significa que precisamos integrar essa função. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, simplificaria a integração. Observando , vemos que a expressão está dentro do seno e também aparece multiplicada por .
Então, vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Para facilitar a substituição, vamos isolar :

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Agora, integrar é bem direto:
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos desfazer a substituição que fizemos inicialmente. Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A antiderivada da função é:

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Lança-se uma pedra verticalmente para cima, de um ponto situado a 144 m acima do solo, com uma velocidade de . Desprezando-se a resistência do ar, determine a distância acima do solo alcançada após segundos. Durante quanto tempo a pedra sobe? Quando e com que velocidade a pedra atinge o solo de volta?
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Encontre a solução completa da equação diferencial .