Um objeto descreve um movimento retilíneo, tal que . Se as condições iniciais são e , determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto que está se movendo em linha reta, e a aceleração dele é dada pela função . As condições iniciais são: a velocidade no tempo zero é e a posição no tempo zero é . Nosso objetivo é encontrar a função posição .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função velocidade integrando a aceleração . A integral da aceleração em relação ao tempo nos dá a velocidade:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
Integrando cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Substituindo :
Portanto, a função velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição integrando a velocidade :

Passo 6

Calculando cada integral:
Juntando tudo:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo :

Resposta

Portanto, a função posição é:

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