Lança-se uma pedra verticalmente para cima, de um ponto situado a 144 m acima do solo, com uma velocidade de
. Desprezando-se a resistência do ar, determine a distância acima do solo alcançada após
segundos. Durante quanto tempo a pedra sobe? Quando e com que velocidade a pedra atinge o solo de volta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento vertical de uma pedra lançada para cima. A gente vai usar cinemática, que é o ramo da física que estuda o movimento. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento uniformemente variado (MUV) e entender como a gravidade afeta o movimento da pedra.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que sabemos:
- Posição inicial (
): 144 metros acima do solo. - Velocidade inicial (
): 96 metros por segundo para cima. - Aceleração (
): como a pedra está indo contra a gravidade, a aceleração é negativa, .
Passo 3
A distância acima do solo em função do tempo (
) pode ser encontrada usando a equação do movimento:
Substituindo os valores que temos:
Então, essa é a fórmula que nos dá a altura da pedra em qualquer instante
.
Passo 4
Para descobrir quanto tempo a pedra sobe até parar antes de começar a cair, vamos usar a condição de que na altura máxima, a velocidade final (
) é zero:
Colocando
:
Então, a pedra sobe por aproximadamente 9,8 segundos.
Passo 5
Agora, queremos saber quando a pedra atinge o solo de volta. Isso ocorre quando
. Temos a equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
A solução negativa não faz sentido no contexto, então o tempo total de voo é de aproximadamente 20,95 segundos.
Passo 6
Para encontrar a velocidade com que a pedra atinge o solo, usamos novamente a equação da velocidade:
Substituindo
segundos:
O sinal negativo indica que a velocidade é para baixo.
Resposta
A altura da pedra após
segundos é dada por:
A pedra sobe por aproximadamente 9,8 segundos. Ela atinge o solo novamente após cerca de 20,95 segundos, com uma velocidade de -109,5 m/s.
Exercícios relacionados
Um objeto descreve um movimento retilíneo, tal que
. Se as condições iniciais são
e
, determine
.
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Um determinada empresa estima que o custo marginal, em reais, para produzir
unidades de uma determinada peça é
. Sabendo que o custo marginalé dada pela taxa de variação da função custo e que o custo marginal, para a produção 1000 dessas peças, é 0.25 centavos, determine o custo da produção.
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.