Lança-se uma pedra verticalmente para cima, de um ponto situado a 144 m acima do solo, com uma velocidade de . Desprezando-se a resistência do ar, determine a distância acima do solo alcançada após segundos. Durante quanto tempo a pedra sobe? Quando e com que velocidade a pedra atinge o solo de volta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento vertical de uma pedra lançada para cima. A gente vai usar cinemática, que é o ramo da física que estuda o movimento. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento uniformemente variado (MUV) e entender como a gravidade afeta o movimento da pedra.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que sabemos:
  • Posição inicial ( ): 144 metros acima do solo.
  • Velocidade inicial ( ): 96 metros por segundo para cima.
  • Aceleração ( ): como a pedra está indo contra a gravidade, a aceleração é negativa, ².

Passo 3

A distância acima do solo em função do tempo ( ) pode ser encontrada usando a equação do movimento:
²
Substituindo os valores que temos:
²
Então, essa é a fórmula que nos dá a altura da pedra em qualquer instante .

Passo 4

Para descobrir quanto tempo a pedra sobe até parar antes de começar a cair, vamos usar a condição de que na altura máxima, a velocidade final ( ) é zero:
Colocando :
Então, a pedra sobe por aproximadamente 9,8 segundos.

Passo 5

Agora, queremos saber quando a pedra atinge o solo de volta. Isso ocorre quando . Temos a equação:
²
Resolvendo essa equação quadrática:
²
Usando a fórmula de Bhaskara:
²
Calculando o discriminante:
Então:
A solução negativa não faz sentido no contexto, então o tempo total de voo é de aproximadamente 20,95 segundos.

Passo 6

Para encontrar a velocidade com que a pedra atinge o solo, usamos novamente a equação da velocidade:
Substituindo segundos:
O sinal negativo indica que a velocidade é para baixo.

Resposta

A altura da pedra após segundos é dada por:
²
A pedra sobe por aproximadamente 9,8 segundos. Ela atinge o solo novamente após cerca de 20,95 segundos, com uma velocidade de -109,5 m/s.

Exercícios relacionados

Um objeto descreve um movimento retilíneo, tal que . Se as condições iniciais são e , determine .
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Um determinada empresa estima que o custo marginal, em reais, para produzir unidades de uma determinada peça é . Sabendo que o custo marginalé dada pela taxa de variação da função custo e que o custo marginal, para a produção 1000 dessas peças, é 0.25 centavos, determine o custo da produção.
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.