Determinada fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de madeira. Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se dedicasse apenas à fabricação de mesas,
1.000 unidades seriam produzidas por dia; caso o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1.500 cadeiras por dia. Cada cadeira contribui em R$100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha contribui em R$400,00 e cada mesa contribui em R$500,00. Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão: X1= quantidade de mesas produzidas, X2= quantidade de cadeiras produzidas, X3= quantidade de escrivaninhas produzidas. O valor ótimo da função objetivo deste problema é?
1.000 unidades seriam produzidas por dia; caso o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1.500 cadeiras por dia. Cada cadeira contribui em R$100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha contribui em R$400,00 e cada mesa contribui em R$500,00. Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão: X1= quantidade de mesas produzidas, X2= quantidade de cadeiras produzidas, X3= quantidade de escrivaninhas produzidas. O valor ótimo da função objetivo deste problema é?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma fábrica que faz três produtos: mesas, escrivaninhas e cadeiras. Todos esses produtos passam pelo setor de carpintaria. Dependendo de qual produto o setor se dedica totalmente, temos uma produção máxima diária:
- Apenas mesas: 1.000 unidades
- Apenas escrivaninhas: 500 unidades
- Apenas cadeiras: 1.500 unidades
Cada produto também contribui com um lucro diferente:
- Cadeira: R$100,00
- Escrivaninha: R$400,00
- Mesa: R$500,00
As variáveis de decisão são:
- $ X_1 $: quantidade de mesas produzidas
- $ X_2 $: quantidade de cadeiras produzidas
- $ X_3 $: quantidade de escrivaninhas produzidas
O que a gente precisa encontrar é o valor ótimo da função objetivo, ou seja, o lucro máximo que a fábrica pode obter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que isso é um problema de programação linear, onde queremos maximizar o lucro (função objetivo) sujeito a certas limitações (restrições de produção).
A função objetivo é o lucro total, que podemos expressar assim:
Aqui, multiplicamos a quantidade de cada produto pelo seu respectivo lucro e somamos tudo.
Passo 3
Agora, precisamos estabelecer as restrições do problema. As restrições vêm das capacidades máximas de produção quando o setor se dedica a apenas um tipo de produto.
Vamos considerar que a quantidade de recursos no setor de carpintaria é fixa. Assim, a produção total não pode exceder essa capacidade.
As restrições ficam:
Explicando:
- $ \frac{X_1}{1000} $ representa a fração do tempo usado para produzir mesas.
- $ \frac{X_2}{1500} $ representa a fração do tempo usado para produzir cadeiras.
- $ \frac{X_3}{500} $ representa a fração do tempo usado para produzir escrivaninhas.
A soma dessas frações não pode ser maior que 1, que corresponderia a utilizar todo o recurso disponível.
Além disso, temos que:
Porque não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos.
Passo 4
Vamos organizar tudo:
Função Objetivo:
Sujeito a:
Passo 5
Para resolver isso, vamos usar o método gráfico simplificado ou técnicas de otimização. Mas como temos três variáveis, é mais prático usar uma abordagem matemática para encontrar o ponto que maximiza o lucro dentro das restrições.
Podemos simplificar a restrição multiplicando todos os termos por 3000 (o mínimo múltiplo comum de 1000, 1500 e 500) para eliminar os denominadores:
Então, temos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar os valores de $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ que maximizam $ Z = 500X_1 + 100X_2 + 400X_3 $ sem violar a restrição $ 3X_1 + 2X_2 + 6X_3 \leq 3000 $.
Vamos observar os coeficientes da função objetivo para identificar quais produtos trazem mais lucro por unidade de recurso utilizada.
Calculando o lucro por unidade de recurso:
- Para mesas: $ \frac{500}{3} \approx 166,67 $ por unidade de recurso
- Para escrivaninhas: $ \frac{400}{6} \approx 66,67 $ por unidade de recurso
- Para cadeiras: $ \frac{100}{2} = 50 $ por unidade de recurso
Observando esses valores, vemos que mesas trazem mais lucro por unidade de recurso, seguidas por escrivaninhas e, por último, cadeiras.
Passo 7
Com base nisso, a estratégia para maximizar o lucro é priorizar a produção das mesas até que a capacidade seja atingida, e então, se houver espaço, produzir escrivaninhas ou cadeiras.
Vamos calcular quanto podemos produzir de mesas:
Se produzirmos 1000 mesas, usando:
Isso utiliza toda a capacidade, não sobrando espaço para produzir escrivaninhas ou cadeiras.
Então, o lucro seria:
Passo 8
Agora, vamos verificar se produzindo menos mesas e incluindo outros produtos pode aumentar o lucro.
Por exemplo, produzindo 900 mesas:
Restam:
Com esses 300 de recurso restante, podemos produzir:
Então, produzimos 50 escrivaninhas.
O lucro seria:
Esse valor é menor que R$500.000,00.
Outro exemplo: produzindo 800 mesas:
Restam:
Podemos produzir 50 escrivaninhas e 150 cadeiras:
Lucro:
Ainda menor que R$500.000,00.
Passo 9
Viu só? Quanto mais mesas produzimos, mais lucro conseguimos, já que mesas têm o maior lucro por unidade de recurso. Produzir menos mesas e incluir outros produtos diminui o lucro total.
Resposta
O valor ótimo da função objetivo é R$500.000,00.