Determinada fábrica de móveis produz mesas, escrivaninhas e cadeiras de madeira. Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria. Se o setor de carpintaria se dedicasse apenas à fabricação de mesas,
1.000 unidades seriam produzidas por dia; caso o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas, 500 unidades seriam produzidas por dia; se o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras, seriam produzidas 1.500 cadeiras por dia. Cada cadeira contribui em R$100,00 para o lucro da empresa, cada escrivaninha contribui em R$400,00 e cada mesa contribui em R$500,00. Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão: X1= quantidade de mesas produzidas, X2= quantidade de cadeiras produzidas, X3= quantidade de escrivaninhas produzidas. O valor ótimo da função objetivo deste problema é?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma fábrica que faz três produtos: mesas, escrivaninhas e cadeiras. Todos esses produtos passam pelo setor de carpintaria. Dependendo de qual produto o setor se dedica totalmente, temos uma produção máxima diária:
  • Apenas mesas: 1.000 unidades
  • Apenas escrivaninhas: 500 unidades
  • Apenas cadeiras: 1.500 unidades
Cada produto também contribui com um lucro diferente:
  • Cadeira: R$100,00
  • Escrivaninha: R$400,00
  • Mesa: R$500,00
As variáveis de decisão são:
  • $ X_1 $: quantidade de mesas produzidas
  • $ X_2 $: quantidade de cadeiras produzidas
  • $ X_3 $: quantidade de escrivaninhas produzidas
O que a gente precisa encontrar é o valor ótimo da função objetivo, ou seja, o lucro máximo que a fábrica pode obter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que isso é um problema de programação linear, onde queremos maximizar o lucro (função objetivo) sujeito a certas limitações (restrições de produção).
A função objetivo é o lucro total, que podemos expressar assim:
Lucro = 500X1 + 100X2 + 400X3
Aqui, multiplicamos a quantidade de cada produto pelo seu respectivo lucro e somamos tudo.

Passo 3

Agora, precisamos estabelecer as restrições do problema. As restrições vêm das capacidades máximas de produção quando o setor se dedica a apenas um tipo de produto.
Vamos considerar que a quantidade de recursos no setor de carpintaria é fixa. Assim, a produção total não pode exceder essa capacidade.
As restrições ficam:
X11000 + X21500 + X3500 <= 1
Explicando:
  • $ \frac{X_1}{1000} $ representa a fração do tempo usado para produzir mesas.
  • $ \frac{X_2}{1500} $ representa a fração do tempo usado para produzir cadeiras.
  • $ \frac{X_3}{500} $ representa a fração do tempo usado para produzir escrivaninhas.
A soma dessas frações não pode ser maior que 1, que corresponderia a utilizar todo o recurso disponível.
Além disso, temos que:
X11000
Porque não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos.

Passo 4

Vamos organizar tudo:
Função Objetivo:
Maximizar Z = 500X1 + 100X2 + 400X3
Sujeito a:
X11000 + X21500 + X3500 <= 1
X1, X2, X3 >= 0

Passo 5

Para resolver isso, vamos usar o método gráfico simplificado ou técnicas de otimização. Mas como temos três variáveis, é mais prático usar uma abordagem matemática para encontrar o ponto que maximiza o lucro dentro das restrições.
Podemos simplificar a restrição multiplicando todos os termos por 3000 (o mínimo múltiplo comum de 1000, 1500 e 500) para eliminar os denominadores:
3X1 + 2X2 + 6X3 <= 3000
Então, temos:
3X1 + 2X2 + 6X3 <= 3000
X1, X2, X3 >= 0

Passo 6

Agora, queremos encontrar os valores de $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ que maximizam $ Z = 500X_1 + 100X_2 + 400X_3 $ sem violar a restrição $ 3X_1 + 2X_2 + 6X_3 \leq 3000 $.
Vamos observar os coeficientes da função objetivo para identificar quais produtos trazem mais lucro por unidade de recurso utilizada.
Calculando o lucro por unidade de recurso:
  • Para mesas: $ \frac{500}{3} \approx 166,67 $ por unidade de recurso
  • Para escrivaninhas: $ \frac{400}{6} \approx 66,67 $ por unidade de recurso
  • Para cadeiras: $ \frac{100}{2} = 50 $ por unidade de recurso
Observando esses valores, vemos que mesas trazem mais lucro por unidade de recurso, seguidas por escrivaninhas e, por último, cadeiras.

Passo 7

Com base nisso, a estratégia para maximizar o lucro é priorizar a produção das mesas até que a capacidade seja atingida, e então, se houver espaço, produzir escrivaninhas ou cadeiras.
Vamos calcular quanto podemos produzir de mesas:
3X1 <= 3000 implies X1 <= 1000
Se produzirmos 1000 mesas, usando:
3 times 1000 = 3000
Isso utiliza toda a capacidade, não sobrando espaço para produzir escrivaninhas ou cadeiras.
Então, o lucro seria:
Z = 500 times 1000 + 100 times 0 + 400 times 0 = R$500.000,00

Passo 8

Agora, vamos verificar se produzindo menos mesas e incluindo outros produtos pode aumentar o lucro.
Por exemplo, produzindo 900 mesas:
3 times 900 = 2700
Restam:
3000 - 2700 = 300
Com esses 300 de recurso restante, podemos produzir:
6X3 <= 300 implies X3 <= 50
Então, produzimos 50 escrivaninhas.
O lucro seria:
Z = 500 times 900 + 100 times 0 + 400 times 50 = 450.000 + 0 + 20.000 = R$470.000,00
Esse valor é menor que R$500.000,00.
Outro exemplo: produzindo 800 mesas:
500.000,00 Outro exemplo: produzindo 800 mesas:
Restam:
3 times 800 = 2400
Podemos produzir 50 escrivaninhas e 150 cadeiras:
Restam:
Lucro:
3000 - 2400 = 600
Ainda menor que R$500.000,00.

Passo 9

Viu só? Quanto mais mesas produzimos, mais lucro conseguimos, já que mesas têm o maior lucro por unidade de recurso. Produzir menos mesas e incluir outros produtos diminui o lucro total.

Resposta

O valor ótimo da função objetivo é R$500.000,00.

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