Numa determinada população, 41% das pessoas têm sangue de tipo A, 9 % sangue do tipo B, 4 % sangue do tipo AB e 46% sangue do tipo O. Sabe-se ainda que uma análise clínica muito usada para determinar o tipo de sangue não é 100% eficaz, levando a que sejam considerados, como tendo sangue do tipo A, 4% dos que têm sangue do tipo O, 88 % dos que têm sangue de tipo A, 10% dos que têm sangue do tipo AB e 4 % dos que têm sangue do tipo B. Um doente dessa população vai ser operado e efectuou a referida análise clínica tendo-lhe sido dito que tinha sangue do tipo A. Determine a probabilidade do seu sangue não ser realmente do tipo A.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo tipos sanguíneos e a eficácia de um teste clínico. Temos uma população com diferentes porcentagens de tipos sanguíneos: A, B, AB e O. Além disso, sabemos que o teste para determinar o tipo sanguíneo não é 100% eficaz e pode dar resultados incorretos. Queremos descobrir qual a probabilidade de, após um teste indicar que uma pessoa tem sangue do tipo A, ela realmente não ser do tipo A.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as porcentagens de cada tipo sanguíneo na população:
  • Tipo A: 41%
  • Tipo B: 9%
  • Tipo AB: 4%
  • Tipo O: 46%

Passo 3

Agora, vamos analisar a eficácia do teste para cada tipo sanguíneo:
  • 88% das pessoas com sangue tipo A são corretamente identificadas como tipo A.
  • 4% das pessoas com sangue tipo O são incorretamente identificadas como tipo A.
  • 10% das pessoas com sangue tipo AB são incorretamente identificadas como tipo A.
  • 4% das pessoas com sangue tipo B são incorretamente identificadas como tipo A.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de uma pessoa que recebeu o resultado do teste como tipo A realmente não ser do tipo A, vamos usar o Teorema de Bayes. Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de o teste indicar tipo A.
A probabilidade total de o teste indicar tipo A é a soma das probabilidades de cada tipo sanguíneo ser identificado como tipo A:
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando cada termo:
Somando todos:

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de a pessoa não ser do tipo A dado que o teste indicou tipo A:
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Aqui, ã.
As contribuições de tipos B, AB e O para o teste A são:
ãã

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula:
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Resposta

A probabilidade do sangue da pessoa não ser realmente do tipo A é de aproximadamente .

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