Numa determinada população,
das pessoas têm sangue de tipo A,
sangue do tipo B,
sangue do tipo
e
sangue do tipo
. Sabe-se ainda que uma análise clínica muito usada para determinar o tipo de sangue não é
eficaz, levando a que sejam considerados, como tendo sangue do tipo
dos que têm sangue do tipo
dos que têm sangue de tipo
dos que têm sangue do tipo AB e
dos que têm sangue do tipo B. Um doente dessa população vai ser operado e efectuou a referida análise clínica tendo-lhe sido dito que tinha sangue do tipo A. Determine a probabilidade do seu sangue não ser realmente do tipo A.
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo tipos sanguíneos e a eficácia de um teste clínico. Temos uma população com diferentes porcentagens de tipos sanguíneos: A, B, AB e O. Além disso, sabemos que o teste para determinar o tipo sanguíneo não é 100% eficaz e pode dar resultados incorretos. Queremos descobrir qual a probabilidade de, após um teste indicar que uma pessoa tem sangue do tipo A, ela realmente não ser do tipo A.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as porcentagens de cada tipo sanguíneo na população:
- Tipo A: 41%
- Tipo B: 9%
- Tipo AB: 4%
- Tipo O: 46%
Passo 3
Agora, vamos analisar a eficácia do teste para cada tipo sanguíneo:
- 88% das pessoas com sangue tipo A são corretamente identificadas como tipo A.
- 4% das pessoas com sangue tipo O são incorretamente identificadas como tipo A.
- 10% das pessoas com sangue tipo AB são incorretamente identificadas como tipo A.
- 4% das pessoas com sangue tipo B são incorretamente identificadas como tipo A.
Passo 4
Para encontrar a probabilidade de uma pessoa que recebeu o resultado do teste como tipo A realmente não ser do tipo A, vamos usar o Teorema de Bayes. Primeiro, precisamos calcular a probabilidade total de o teste indicar tipo A.
A probabilidade total de o teste indicar tipo A é a soma das probabilidades de cada tipo sanguíneo ser identificado como tipo A:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de a pessoa não ser do tipo A dado que o teste indicou tipo A:
Aqui,
.
As contribuições de tipos B, AB e O para o teste A são:
Passo 7
Aplicando os valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade do sangue da pessoa não ser realmente do tipo A é de aproximadamente
.