A porfíria é uma doença transmitida geneticamente, com um quadro clínico enganador, felizmente muito rara. Um médico suspeita que um dos seus pacientes sofre de porfíria, devido ao quadro clínico que observa. Estudos anteriores levam-no a admitir que dos indivíduos que apresentam o quadro clínico observado têm porfíria. A análise clínica a essa doença dá resultado positivo com probabilidade 0.82 se uma pessoa tem a doença e com probabilidade 0.037 se a pessoa não tem a doença. Sabendo que o resultado da análise clínica efectuada ao paciente foi positivo, qual a probabilidade do paciente sofrer efectivamente de porfíria?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre porfíria, uma doença genética rara, e nos dá algumas probabilidades relacionadas a ela e aos testes clínicos. Nosso objetivo é descobrir qual a chance do paciente realmente ter porfíria, sabendo que o teste deu positivo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas probabilidades com novas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já conhecemos:
  • Probabilidade de ter porfíria (P(Porfíria)): 30% ou 0.3.
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa tem porfíria (P(Positivo|Porfíria)): 82% ou 0.82.
  • Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa NÃO tem porfíria (P(Positivo|Não Porfíria)): 3.7% ou 0.037.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a probabilidade do paciente ter porfíria dado que o teste deu positivo, ou seja, P(Porfíria|Positivo). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes:
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Passo 4

Primeiro, vamos calcular P(Positivo), que é a probabilidade total do teste dar positivo. Isso inclui as pessoas que têm porfíria e as que não têm:
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Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, voltamos ao Teorema de Bayes para encontrar P(Porfíria|Positivo):
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Resposta

A probabilidade do paciente realmente ter porfíria, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 90,4%.

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