Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com:
a) Plote, esquematicamente, as isotermas e desenhe o vetor gradiente de temperatura em um ponto qualquer e. (dica: Adote valores
cte. e plote as curvas resultantes)
a) Plote, esquematicamente, as isotermas e desenhe o vetor gradiente de temperatura em um ponto qualquer e. (dica: Adote valores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura varia na região de um escoamento, dada pela equação
. A gente precisa plotar as isotermas (linhas onde a temperatura é constante) e desenhar o vetor gradiente da temperatura em um ponto qualquer. Para isso, vamos precisar entender o que são isotermas e o que é o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as isotermas. Isotermas são curvas onde a temperatura
é constante. Então, começamos definindo
, onde
é uma constante qualquer.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação para
para visualizar melhor as isotermas:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de
é negativo. Cada valor de
vai nos dar uma parábola diferente, todas com o mesmo formato, apenas deslocadas verticalmente dependendo do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor gradiente da temperatura. O vetor gradiente de uma função
é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 5
Para desenhar o vetor gradiente em um ponto qualquer
, substituímos
na expressão do gradiente:
Esse vetor aponta na direção de maior variação da temperatura e é perpendicular às isotermas no ponto
. Então, basta desenhar a parábola que representa a isoterma e, nesse ponto específico, desenhar o vetor apontando na direção perpendicular à curva.
Resposta
As isotermas são parábolas da forma
, que abrem para baixo. Em qualquer ponto da região, o vetor gradiente da temperatura é
, que aponta na direção perpendicular à isoterma naquele ponto.