Em uma determinada região de um escoamento, a temperatura varia de acordo com: T(x, y)=x^2+2 y
a) Plote, esquematicamente, as isotermas e desenhe o vetor gradiente de temperatura em um ponto qualquer e. (dica: Adote valores T= cte. e plote as curvas resultantes)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura varia na região de um escoamento, dada pela equação . A gente precisa plotar as isotermas (linhas onde a temperatura é constante) e desenhar o vetor gradiente da temperatura em um ponto qualquer. Para isso, vamos precisar entender o que são isotermas e o que é o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as isotermas. Isotermas são curvas onde a temperatura T(x, y) = C é constante. Então, começamos definindo x^2 + 2y = C , onde é uma constante qualquer.

Passo 3

Agora, resolvemos a equação para 2y = C - x^2 para visualizar melhor as isotermas:
y = C - x^22
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. Cada valor de vai nos dar uma parábola diferente, todas com o mesmo formato, apenas deslocadas verticalmente dependendo do valor de .

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor gradiente da temperatura. O vetor gradiente de uma função nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y ) é dado pelas derivadas parciais em relação a partial Tpartial x = 2x e partial Tpartial y = 2 :
nabla T = (2x, 2)
Calculando as derivadas:
Então, o vetor gradiente é:

Passo 5

Para desenhar o vetor gradiente em um ponto qualquer nabla T = (2x0, 2) , substituímos na expressão do gradiente:
Esse vetor aponta na direção de maior variação da temperatura e é perpendicular às isotermas no ponto . Então, basta desenhar a parábola que representa a isoterma e, nesse ponto específico, desenhar o vetor apontando na direção perpendicular à curva.

Resposta

As isotermas são parábolas da forma , que abrem para baixo. Em qualquer ponto da região, o vetor gradiente da temperatura é , que aponta na direção perpendicular à isoterma naquele ponto.

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