Pequenas partículas (traçadores) são utilizadas para visualização do escoamento. As mesmas são injetadas na origem (x=0, y=0). Para o campo de velocidades dado por,
& u=-1 m / s, v=1 m / s para 0 <= t <= 2 & u=0 m / s, v=2 m / s para 2 <= t <= 4
a) Trace as trajetórias dos traçadores que passam pela origem nos tempos t=0,1,2,3,4 s.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como pequenas partículas, chamadas traçadores, se movem quando são injetadas na origem do sistema de coordenadas (x=0, y=0) em diferentes instantes de tempo. O conteúdo da matéria envolve campo de velocidades e trajetórias de partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as velocidades u e v influenciam o movimento dos traçadores ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo de velocidades que foi dado. O campo de velocidades nos diz como as componentes de velocidade u (na direção x) e v (na direção y) variam com o tempo t.
Para 0 <= t <= 2 segundos:
u = -1 , m/s, v = 1 , m/s
Para 2 <= t <= 4 segundos:
u = 0 , m/s, v = 2 , m/s
Isso significa que a cada intervalo de tempo, as velocidades mudam. Vamos usar essas informações para traçar as trajetórias dos traçadores injetados nos tempos t=0, 1, 2, 3, 4 segundos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a trajetória de um traçador pode ser encontrada integrando as componentes de velocidade ao longo do tempo. Ou seja:
x(t) = x0 + integralt0^t u(tau) , dtau
y(t) = y0 + integralt0^t v(tau) , dtau
Aqui, (x0, y0) é a posição inicial, que no nosso caso é sempre (0, 0), já que os traçadores são injetados na origem.

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo de tempo separadamente.
Para 0 <= t <= 2 segundos:
  • u = -1 , m/s
  • v = 1 , m/s
As integrais ficam:
x(t) = 0 + integral0^t (-1) , dtau = -t
y(t) = 0 + integral0^t 1 , dtau = t
Então, para esse intervalo, a trajetória é dada por:
x(t) = -t, y(t) = t
Para 2 <= t <= 4 segundos:
  • u = 0 , m/s
  • v = 2 , m/s
Neste caso, a posição em t=2 será o ponto onde termina o primeiro intervalo:
x(2) = -2, y(2) = 2
Agora, para t > 2:
x(t) = -2 + integral2^t 0 , dtau = -2
y(t) = 2 + integral2^t 2 , dtau = 2 + 2(t - 2) = 2t - 2
Então, para 2 <= t <= 4:
x(t) = -2, y(t) = 2t - 2

Passo 5

Agora, vamos traçar as trajetórias para cada instante de injeção dos traçadores.
  1. Traçador injetado em t=0 segundos:
    • Segue a trajetória de 0 <= t <= 2: x(t) = -t, y(t) = t
    • Depois de t=2 até t=4: x(t) = -2, y(t) = 2t - 2
  2. Traçador injetado em t=1 segundo:
    • Para 1 <= t <= 2: x(t) = -(t - 1), y(t) = (t - 1)
    • Para 2 <= t <= 4: x(t) = -2, y(t) = 2(t - 2) + 1 = 2t - 3
  3. Traçador injetado em t=2 segundos:
    • Para 2 <= t <= 4: x(t) = -2, y(t) = 2(t - 2)
  4. Traçador injetado em t=3 segundos:
    • Para 3 <= t <= 4: x(t) = -2, y(t) = 2(t - 3) + (2*3 - 3) = 2t - 3
  5. Traçador injetado em t=4 segundos:
    • Não há movimento após t=4, então fica em x= -2, y=6

Resposta

As trajetórias dos traçadores injetados na origem nos tempos t=0, 1, 2, 3, 4 segundos são:
  1. Para t=0 s:
    x(t) = -t, y(t) = t para 0 <= t <= 2
    x(t) = -2, y(t) = 2t - 2 para 2 <= t <= 4
  2. Para t=1 s:
    x(t) = -(t - 1), y(t) = t - 1 para 1 <= t <= 2
    x(t) = -2, y(t) = 2t - 3 para 2 <= t <= 4
  3. Para t=2 s:
    x(t) = -2, y(t) = 2(t - 2) para 2 <= t <= 4
  4. Para t=3 s:
    x(t) = -2, y(t) = 2t - 3 para 3 <= t <= 4
  5. Para t=4 s:
    x(t) = -2, y(t) = 6 em t=4
Essas equações descrevem como cada traçador se move ao longo do tempo após ser injetado na origem.

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