Pequenas partículas (traçadores) são utilizadas para visualização do escoamento. As mesmas são injetadas na origem
. Para o campo de velocidades dado por,
a) Trace as trajetórias dos traçadores que passam pela origem nos tempos
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como pequenas partículas, chamadas traçadores, se movem quando são injetadas na origem do sistema de coordenadas
em diferentes instantes de tempo. O conteúdo da matéria envolve campo de velocidades e trajetórias de partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as velocidades
e
influenciam o movimento dos traçadores ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o campo de velocidades que foi dado. O campo de velocidades nos diz como as componentes de velocidade
(na direção
) e
(na direção
) variam com o tempo
.
Para
segundos:
Para
segundos:
Isso significa que a cada intervalo de tempo, as velocidades mudam. Vamos usar essas informações para traçar as trajetórias dos traçadores injetados nos tempos
segundos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a trajetória de um traçador pode ser encontrada integrando as componentes de velocidade ao longo do tempo. Ou seja:
Aqui,
é a posição inicial, que no nosso caso é sempre
, já que os traçadores são injetados na origem.
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo de tempo separadamente.
Para
segundos:
As integrais ficam:
Então, para esse intervalo, a trajetória é dada por:
Para
segundos:
Neste caso, a posição em
será o ponto onde termina o primeiro intervalo:
Agora, para
:
Então, para
:
Passo 5
Agora, vamos traçar as trajetórias para cada instante de injeção dos traçadores.
-
Traçador injetado em
segundos: - Segue a trajetória de
: , - Depois de
até : ,
- Segue a trajetória de
-
Traçador injetado em
segundo: - Para
: , - Para
: ,
- Para
-
Traçador injetado em
segundos: - Para
: ,
- Para
-
Traçador injetado em
segundos: - Para
: ,
- Para
-
Traçador injetado em
segundos: - Não há movimento após
, então fica em ,
- Não há movimento após
Resposta
As trajetórias dos traçadores injetados na origem nos tempos
segundos são:
-
Para
s: -
Para
s: -
Para
s: -
Para
s: -
Para
s:
Essas equações descrevem como cada traçador se move ao longo do tempo após ser injetado na origem.