Uma determinada substância sofre decomposição segunda uma cinética de primeira ordem. Os tempos de meia vida determinados a 90^circ C e 80^circ C foram 17,4 min e 59,8 min, respectivamente. A partir desses dados, calcule a energia de ativação e estime o tempo de meia vida para 30^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a decomposição de uma substância que segue uma cinética de primeira ordem. Precisamos calcular a energia de ativação da reação e estimar o tempo de meia-vida a 30^circ C. Para isso, vamos usar conceitos de cinética química, especialmente a equação da taxa de reação de primeira ordem e a equação de Arrhenius.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma reação de primeira ordem, o tempo de meia-vida ( t1/2) está relacionado à constante de taxa ( k) pela fórmula:
t1/2 = 0,693k
Vamos calcular as constantes de taxa ( k) para as temperaturas dadas.

Passo 3

Para 90^circ C, que é 363 K (já que 0^circ C = 273 K):
k1 = 0,69317,4 , min approx 0,0399 , min^-1
E para 80^circ C, que é 353 K:
k2 = 0,69359,8 , min approx 0,0116 , min^-1

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Arrhenius, que relaciona a constante de taxa com a temperatura:
k = A cdot e^-EaR T
Onde:
  • k é a constante de taxa,
  • A �� o fator pré-exponencial,
  • Ea é a energia de ativação,
  • R é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Para duas temperaturas diferentes, temos:
ln(k2k1) = EaR ( 1T1 - 1T2 )

Passo 5

Substituindo os valores que já calculamos:
ln(0,01160,0399) = Ea8,314 ( 1363 - 1353 )
Calculando o lado esquerdo:
ln(0,291) approx -1,229
E o lado direito:
1363 - 1353 = 353 - 363363 times 353 = -10128,019 approx -0,0781
Então:
-1,229 = Ea8,314 times (-0,0781)

Passo 6

Resolvendo para Ea:
Ea = -1,229 times 8,314-0,0781 approx 10,2180,0781 approx 130,8 , kJ/mol

Passo 7

Agora que temos a energia de ativação, vamos estimar o tempo de meia-vida a 30^circ C (303 K).
Primeiro, calculamos a constante de taxa k a 303 K usando a equação de Arrhenius:
k = A cdot e^-EaR T
Como não temos o valor de A, vamos usar a relação entre duas constantes de taxa:
ln(kk1) = EaR ( 1T - 1T1 )
Substituindo os valores:
ln(k0,0399) = 1308008,314 ( 1303 - 1363 )
Calculando:
1308008,314 approx 15742
1303 - 1363 approx 0,00330 - 0,00275 = 0,00055
Então:
ln(k0,0399) = 15742 times 0,00055 approx 8,609
k0,0399 = e^8,609 approx 5465
k approx 0,0399 times 5465 approx 217,7 , min^-1

Passo 8

Finalmente, usamos a fórmula do tempo de meia-vida novamente:
t1/2 = 0,693217,7 approx 0,00318 , min
Convertendo para segundos (já que é muito curto):
0,00318 , min times 60 approx 0,191 , segundos

Resposta

A energia de ativação é aproximadamente 130,8 , kJ/mol e o tempo de meia-vida a 30^circ C é cerca de 0,191 segundos.

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