Uma determinada substância tem constante dielétrica relativa 3 e rigidez dielétrica 4 MV / m. Esse material é usado como dielétrico em um capacitor de placas paralelas que possui área de 20 cdot 10^-3 m^2 e deve suportar uma diferença de potencial de 30 kV . Dado que a permissividade do vácuo vale varepsilon0= 8,85 cdot 10^-12 F / m, determine:
b) A polarização do dielétrico § e a densidade de fluxo devido à carga nas placas (D).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um capacitor de placas paralelas com uma substância dielétrica entre elas. Sabemos a constante dielétrica relativa ( varepsilonr = 3), a rigidez dielétrica ( 4 , MV/m), a área das placas ( 20 times 10^-3 , m^2), e a diferença de potencial ( 30 , kV). Nosso objetivo é determinar a polarização do dielétrico ( P) e a densidade de fluxo elétrica ( D). Para isso, vamos precisar entender conceitos de capacitância, permissividade, polarização e densidade de fluxo elétrico.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico ( E) entre as placas do capacitor. A diferença de potencial ( V) está relacionada ao campo elétrico pela fórmula:
E = Vd
Entretanto, não temos a distância ( d) entre as placas. Mas podemos relacionar a rigidez dielétrica com o campo elétrico máximo que o material pode suportar. Como a rigidez dielétrica é 4 , MV/m e a tensão aplicada é 30 , kV, precisamos garantir que o campo elétrico calculado não exceda essa rigidez.

Passo 3

Na verdade, para encontrar D, podemos usar a relação direta que envolve a permissividade do meio ( varepsilon) e o campo elétrico ( E):
D = varepsilon E
A permissividade ( varepsilon) é dada por:
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr
Substituindo os valores conhecidos:
varepsilon = 8,85 times 10^-12 , F/m times 3 = 2,655 times 10^-11 , F/m

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico ( E), precisamos relacionar a diferença de potencial ( V) com a distância entre as placas ( d). No entanto, como d não foi fornecida, precisamos usar outra abordagem. Sabemos que a capacitância ( C) de um capacitor de placas paralelas é:
C = varepsilon Ad
Rearranjando para encontrar d:
d = varepsilon AC
Mas também sabemos que C = QV, onde Q é a carga. No entanto, sem valores adicionais, vamos focar diretamente na relação entre D e P.

Passo 5

A polarização ( P) está relacionada à densidade de fluxo elétrico ( D) e ao campo elétrico ( E) pela fórmula:
P = D - varepsilon0 E
Mas também sabemos que:
D = varepsilon E
Substituindo na equação de P:
P = varepsilon E - varepsilon0 E = (varepsilon - varepsilon0) E = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E

Passo 6

Para resolver completamente, precisamos calcular E. Sabemos que a diferença de potencial é V = 30 , kV = 30 times 10^3 , V e a área das placas A = 20 times 10^-3 , m^2. A capacitância C pode ser expressa como:
C = varepsilon Ad
Mas sem C ou d, vamos utilizar a relação direta entre D e V. Sabemos que:
D = sigma1
E a carga sigma pode ser relacionada à tensão e capacitância. No entanto, para simplificar, consideraremos que o campo elétrico E pode ser aproximado pela diferença de potencial dividida pela distância, mas sem d, assumimos que o material não está quebrando, então E deve ser menor que a rigidez dielétrica.

Passo 7

Nesse caso, para avançar, vamos assumir que o campo elétrico E é dado pela rigidez dielétrica máxima suportada pelo material, pois a substância está sendo usada no capacitor para suportar a tensão aplicada. Assim:
E = 4 times 10^6 , V/m

Passo 8

Agora, podemos calcular D:
D = varepsilon E = 2,655 times 10^-11 , F/m times 4 times 10^6 , V/m = 1,062 times 10^-4 , C/m^2

Passo 9

Com D conhecido, calculamos a polarização P:
P = varepsilon0 (varepsilonr - 1) E = 8,85 times 10^-12 , F/m times (3 - 1) times 4 times 10^6 , V/m = 8,85 times 10^-12 times 2 times 4 times 10^6 = 7,08 times 10^-5 , C/m^2

Resposta

A polarização do dielétrico é P = 7,08 times 10^-5 , C/m^2 e a densidade de fluxo elétrico é D = 1,062 times 10^-4 , C/m^2.

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