Para um determinado gás a energia interna depende do volume e da pressão de acordo com . Determine o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de um estado para um estado , sendo que e pertencem à mesma adiabática. Determine o calor recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico do estado até um estado tal que tenha a mesma energia que . Suponha que agora o gás sofra um processo que leve de até por um processo quase-estático a energia constante. Determine o trabalho realizado neste processo. Dados e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! O enunciado fala sobre um gás cuja energia interna depende do volume e da pressão, dado por . Vamos precisar usar conceitos de processos adiabáticos, isocóricos e trabalhos em processos termodinâmicos. Vamos seguir passo a passo para achar o trabalho realizado e o calor recebido em cada processo pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o trabalho realizado pelo gás quando ele é expandido de A para B em um processo adiabático.
Um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor com o ambiente, ou seja, . Nessa situação, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado pelo gás:
Sabemos que . Então, a mudança na energia interna de A para B é:
Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o calor recebido pelo gás durante um processo isocórico de B para C, onde C tem a mesma energia que A.
Um processo isocórico significa que o volume permanece constante ( ). A energia interna em C é igual à de A:
A energia interna em B é:
A variação da energia interna de B para C é:
Como o processo é isocórico, o trabalho realizado é zero ( ). Portanto, o calor recebido é igual à variação da energia interna:

Passo 4

Por último, vamos determinar o trabalho realizado no processo que leva de A até C de forma quase-estática com energia constante ( ).
Se a energia interna permanece constante ( ), então, pelo primeiro princípio da termodinâmica:
Como a energia interna não muda, o calor trocado é igual ao trabalho realizado:
Para encontrar , precisamos relacionar pressão e volume nesse processo. Usando constante, temos:
Isso implica que a pressão varia inversamente com o volume. Podemos integrar o trabalho:
Como , o trabalho se torna:
Mas como , substituindo e simplificando, chegamos ao resultado final.

Resposta

O trabalho realizado no processo de A até C com energia constante é .

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