Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão , cujas moléculas têm massa sendo a sua velocidade média quadrática. O segundo recipiente contém moléculas de massa à pressão igual a , sendo sua velocidade média é. Calcule a razão entre as massas de suas moléculas.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois recipientes com gás na mesma temperatura. No primeiro, a pressão é , a massa das moléculas é e a velocidade média quadrática é . No segundo recipiente, a pressão é o dobro, ou seja, , a massa das moléculas é e a velocidade média é é igual a . Queremos descobrir a razão entre as massas das moléculas, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos gases ideais e a relação entre a velocidade média quadrática das moléculas e a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da velocidade média quadrática ( ) das moléculas de um gás:
Onde:
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura,
  • é a massa das moléculas.
Como ambos os recipientes estão à mesma temperatura, é constante para os dois casos.

Passo 3

No primeiro recipiente, temos:
No segundo recipiente, a velocidade média é dada por:
é
Vamos relacionar essa velocidade média com a velocidade média quadrática usando a expressão fornecida.

Passo 4

Sabemos que a velocidade média ( é) está relacionada à velocidade média quadrática ( ) pela seguinte relação para distribuições de velocidades em gases:
é
Comparando com a expressão dada no problema:
é
Podemos igualar as duas expressões para encontrar a relação entre as massas.

Passo 5

Igualando as duas expressões para é:
Como é está relacionada ao , substituímos usando a fórmula da velocidade média quadrática do primeiro recipiente:
é

Passo 6

Além disso, no segundo recipiente, a pressão é . Usando a lei dos gases ideais , onde é o número de moléculas, a pressão dupla implica que, para a mesma temperatura e volume, o número de moléculas dobra:
Isso significa que a densidade de moléculas no segundo recipiente é maior.

Passo 7

Voltando à relação das velocidades, temos:
Substituindo :

Passo 8

Simplificando a equação acima para isolar :
Primeiro, resolvemos para :
Ao simplificar as constantes, obtemos uma relação direta entre e .

Passo 9

Após simplificar as constantes e resolver a equação para , encontramos que:

Resposta

A razão entre as massas das moléculas é .

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