Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão p1, cujas moléculas têm massa m1 sendo v rms , 1 a sua velocidade média quadrática. O segundo recipiente contém moléculas de massa m2 à pressão igual a 2 p1, sendo sua velocidade média v méd,2 =12 raiz3 pi2 v rms , 1é. Calcule a razão m1 / m2 entre as massas de suas moléculas.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois recipientes com gás na mesma temperatura. No primeiro, a pressão é , a massa das moléculas é e a velocidade média quadrática é . No segundo recipiente, a pressão é o dobro, ou seja, , a massa das moléculas é e a velocidade média é é igual a . Queremos descobrir a razão entre as massas das moléculas, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos gases ideais e a relação entre a velocidade média quadrática das moléculas e a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da velocidade média quadrática ( vrms = raiz3kTm ) das moléculas de um gás:
Onde:
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura,
  • é a massa das moléculas.
Como ambos os recipientes estão à mesma temperatura, é constante para os dois casos.

Passo 3

No primeiro recipiente, temos:
vrms,1 = raiz3kTm1
No segundo recipiente, a velocidade média é dada por:
vméd,2 = 12 raiz3pi2 vrms,1 é
Vamos relacionar essa velocidade média com a velocidade média quadrática usando a expressão fornecida.

Passo 4

Sabemos que a velocidade média ( vméd = raiz8pi vrms é) está relacionada à velocidade média quadrática ( vméd,2 = 12 raiz3pi2 vrms,1 ) pela seguinte relação para distribuições de velocidades em gases:
é
Comparando com a expressão dada no problema:
é
Podemos igualar as duas expressões para encontrar a relação entre as massas.

Passo 5

Igualando as duas expressões para raiz8pi vrms,2 = 12 raiz3pi2 vrms,1 é:
vméd,2 = 12 raiz3pi2 raiz3kTm1
Como é está relacionada ao , substituímos usando a fórmula da velocidade média quadrática do primeiro recipiente:
é

Passo 6

Além disso, no segundo recipiente, a pressão é N2 = 2N1 . Usando a lei dos gases ideais , onde é o número de moléculas, a pressão dupla implica que, para a mesma temperatura e volume, o número de moléculas dobra:
Isso significa que a densidade de moléculas no segundo recipiente é maior.

Passo 7

Voltando à relação das velocidades, temos:
raiz8pi cdot vrms,2 = 12 raiz3pi2 cdot vrms,1
Substituindo raiz8pi cdot vrms,2 = 12 raiz3pi2 cdot raiz3kTm1 :

Passo 8

Simplificando a equação acima para isolar vrms,2 = 12 raiz3pi2 cdot raiz3kTm1raiz8pi :
Primeiro, resolvemos para :
Ao simplificar as constantes, obtemos uma relação direta entre e .

Passo 9

Após simplificar as constantes e resolver a equação para m1m2 = 3pi16 , encontramos que:

Resposta

A razão entre as massas das moléculas é .

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