Dois recipientes estão à mesma temperatura. O primeiro contém gás à pressão
, cujas moléculas têm massa
sendo
a sua velocidade média quadrática. O segundo recipiente contém moléculas de massa
à pressão igual a
, sendo sua velocidade média
. Calcule a razão
entre as massas de suas moléculas.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois recipientes com gás na mesma temperatura. No primeiro, a pressão é
, a massa das moléculas é
e a velocidade média quadrática é
. No segundo recipiente, a pressão é o dobro, ou seja,
, a massa das moléculas é
e a velocidade média
é igual a
. Queremos descobrir a razão entre as massas das moléculas,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria dos gases ideais e a relação entre a velocidade média quadrática das moléculas e a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da velocidade média quadrática (
) das moléculas de um gás:
Onde:
-
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura, -
é a massa das moléculas.
Como ambos os recipientes estão à mesma temperatura,
é constante para os dois casos.
Passo 3
No primeiro recipiente, temos:
No segundo recipiente, a velocidade média é dada por:
Vamos relacionar essa velocidade média com a velocidade média quadrática usando a expressão fornecida.
Passo 4
Sabemos que a velocidade média (
) está relacionada à velocidade média quadrática (
) pela seguinte relação para distribuições de velocidades em gases:
Comparando com a expressão dada no problema:
Podemos igualar as duas expressões para encontrar a relação entre as massas.
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Como
está relacionada ao
, substituímos
usando a fórmula da velocidade média quadrática do primeiro recipiente:
Passo 6
Além disso, no segundo recipiente, a pressão é
. Usando a lei dos gases ideais
, onde
é o número de moléculas, a pressão dupla implica que, para a mesma temperatura e volume, o número de moléculas dobra:
Isso significa que a densidade de moléculas no segundo recipiente é maior.
Passo 7
Voltando à relação das velocidades, temos:
Substituindo
:
Passo 8
Simplificando a equação acima para isolar
:
Primeiro, resolvemos para
:
Ao simplificar as constantes, obtemos uma relação direta entre
e
.
Passo 9
Após simplificar as constantes e resolver a equação para
, encontramos que:
Resposta
A razão entre as massas das moléculas é
.