Em determinado jogo, um participante marca 50 pontos quando faz uma canastra real e 10 pontos quando faz uma canastra suja, sendo essas as duas únicas formas de pontuar. Se Rafael marcou 120 pontos nesse jogo, então a razão entre os números de canastras reais e sujas, nessa ordem, que ele fez:
a) certamente é igual a 1
b) apenas pode ser igual a 0 ou a 1
c) apenas pode ser igual a 0 ou a 2
d) pode ser igual a 0 ou a 1/7 ou a 1
e) pode ser igual a 1/7 ou a 2/7 ou a 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui temos um jogo onde o Rafael ganha pontos de duas maneiras: fazendo uma canastra real, que vale 50 pontos, e uma canastra suja, que vale 10 pontos. Ele marcou um total de 120 pontos nesse jogo. A pergunta quer saber qual é a razão entre o número de canastras reais e sujas que ele fez. Para resolver isso, vamos usar matemática básica de equações e proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de $ r $ o número de canastras reais que o Rafael fez e de $ s $ o número de canastras sujas. Sabemos que cada canastra real vale 50 pontos e cada canastra suja vale 10 pontos. Então, a soma dos pontos dele é:
r

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para facilitar. Podemos dividir todos os termos por 10:
5r + s = 12
Agora, queremos encontrar a razão $ \frac{r}{s} $. Para isso, vamos expressar $ s $ em função de $ r $:
rs

Passo 4

A razão que queremos é $ \frac{r}{s} = \frac{r}{12 - 5r} $. Agora, precisamos encontrar valores inteiros para $ r $ e $ s $ que satisfaçam essa equação, já que não dá para fazer uma fração de canastra.
Vamos testar valores possíveis para $ r $:
  • Se $ r = 0 $:
    rs = r12 - 5r
    Razão: $ \frac{0}{12} = 0 $
  • Se $ r = 1 $:
    r
    Razão: $ \frac{1}{7} $
  • Se $ r = 2 $:
    s
    Razão: $ \frac{2}{2} = 1 $
  • Se $ r = 3 $:
    r
    Nesse caso, $ s $ fica negativo, o que não faz sentido no contexto.

Passo 5

Então, os valores possíveis para a razão $ \frac{r}{s} $ são:
  • $ 0 $ (quando $ r = 0 $ e $ s = 12 $)
  • $ \frac{1}{7} $ (quando $ r = 1 $ e $ s = 7 $)
  • $ 1 $ (quando $ r = 2 $ e $ s = 2 $)

Resposta

A razão entre os números de canastras reais e sujas que o Rafael fez pode ser igual a $ 0 $, $ \frac{1}{7} $ ou $ 1 $. Portanto, a alternativa correta é a d).

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