Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de R$ 800,00. O material da cerca do lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e o material dos outros dois lados da cerca custa R$ 10,00 por metro. Quais são as dimensões dos lados desse cercado para que ele possua a maior área possível com o custo de R$ 800,00?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular que fica encostado num muro. Ele tem R$ 800,00 para gastar. O lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e os outros dois lados custam R$ 10,00 por metro cada. Nosso objetivo é descobrir quais devem ser as dimensões desse galinheiro para que a área seja a maior possível sem passar do orçamento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar:
- $ x $ = comprimento do lado paralelo ao muro (em metros)
- $ y $ = comprimento de cada um dos outros dois lados (em metros)
Passo 3
Agora, vamos pensar no custo total da cerca. O lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e tem comprimento $ x $, então o custo desse lado é $ 5x $.
Já os outros dois lados custam R$ 10,00 por metro cada. Como são dois lados, o custo total deles é $ 10y + 10y = 20y $.
Então, o custo total da cerca é:
Passo 4
Sabemos que o orçamento total é de R$ 800,00. Portanto, podemos escrever a equação do custo:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 5:
Assim, podemos expressar $ x $ em função de $ y $:
Passo 5
Agora, queremos maximizar a área do galinheiro. A área $ A $ de um retângulo é dada por:
Já que temos $ x $ em função de $ y $, podemos substituir:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(y) $ em relação a $ y $ e igualar a zero:
Resolvendo para $ y $:
Agora, substituímos $ y = 20 $ na equação de $ x $:
Resposta
As dimensões que maximizam a área do galinheiro, respeitando o orçamento de R$ 800,00, são:
- Comprimento paralelo ao muro ($ x $): 80 metros
- Comprimento dos outros dois lados ($ y $): 20 metros