Um determinador investidor deposita umc apital C0 no banco A, que paga juros de 5 % ao ano compostos continuamente.
(a) determine quanto tempo será necessário para que o valor investido dobre.

Passo 1

Então, a gente tem um investidor que colocou um capital inicial no banco que oferece juros de ao ano, com capitalização contínua. A pergunta aqui é: quanto tempo vai levar para que esse investimento dobre de valor? Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de juros compostos contínuos e entender um pouco sobre logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos contínuos. Ela é dada por:
onde:
  • é o valor final após o tempo ,
  • é o capital inicial,
  • é a taxa de juros,
  • é o tempo,
  • é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

No nosso caso, queremos que o valor final seja o dobro do capital inicial, ou seja, . Vamos substituir isso na fórmula:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por :

Passo 5

Agora, para resolver para , precisamos eliminar o exponencial. A gente faz isso aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 6

Sabemos que . Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Sabemos que a taxa de juros ao ano, que é igual a 0,05 em forma decimal. Substituindo na equação:

Passo 9

Calculando o valor numérico:

Resposta

O tempo necessário para que o valor investido dobre é aproximadamente 13,86 anos.

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