Um determinador investidor deposita umc apital
no banco A, que paga juros de
ao ano compostos continuamente.
(a) determine quanto tempo será necessário para que o valor investido dobre.
(a) determine quanto tempo será necessário para que o valor investido dobre.
Passo 1
Então, a gente tem um investidor que colocou um capital inicial
no banco que oferece juros de
ao ano, com capitalização contínua. A pergunta aqui é: quanto tempo vai levar para que esse investimento dobre de valor? Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de juros compostos contínuos e entender um pouco sobre logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos contínuos. Ela é dada por:
onde:
-
é o valor final após o tempo , -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros, -
é o tempo, -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
No nosso caso, queremos que o valor final seja o dobro do capital inicial, ou seja,
. Vamos substituir isso na fórmula:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo os dois lados por
:
Passo 5
Agora, para resolver para
, precisamos eliminar o
exponencial. A gente faz isso aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 6
Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Sabemos que a taxa de juros
ao ano, que é igual a 0,05 em forma decimal. Substituindo na equação:
Passo 9
Calculando o valor numérico:
Resposta
O tempo necessário para que o valor investido dobre é aproximadamente 13,86 anos.