Determinar os pontos críticos das funções a seguir, classificando-os, quando possível.
a) z = 10 - x^2 - y^2
b) z = x^2 + y^2 - 6x - 2y + 7
c) z = x^4 + 1/4 y^5 + x + 1/3 y^3 + 15

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. A questão quer que a gente encontre os pontos críticos da função e, se possível, classifique esses pontos. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de e que fazem com que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero.
Resolvendo :
Resolvendo :
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas e analisar o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante de é:
Como e , o ponto crítico é um ponto de máximo.

Passo 5

Vamos agora analisar a função . Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los quando possível. Novamente, isso envolve calcular as derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 7

Encontramos os pontos críticos resolvendo e .
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, o ponto crítico é .

Passo 8

Vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante de é:
Como e , o ponto crítico é um ponto de mínimo.

Passo 9

Por último, vamos examinar a função . Precisamos determinar os pontos críticos e classificá-los quando possível. Essa função é um pouco mais complexa, mas seguimos o mesmo procedimento: calcular derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 10

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 11

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos e .
Resolvendo :
Resolvendo :
ãáçã
Portanto, o único ponto crítico real é .

Passo 12

Vamos tentar classificar o ponto crítico encontrado. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico :
A matriz Hessiana é:
O determinante de é:
Como , o teste da segunda derivada não é conclusivo. Portanto, não podemos classificar o ponto crítico usando esse método.

Resposta

O ponto crítico da função é . Não foi possível classificá-lo usando o teste da segunda derivada.

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