Determinar os pontos críticos das funções a seguir, classificando-os, quando possível.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. A questão quer que a gente encontre os pontos críticos da função
e, se possível, classifique esses pontos. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
que fazem com que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas e analisar o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
O determinante de
é:
Como
e
, o ponto crítico
é um ponto de máximo.
Passo 5
Vamos agora analisar a função
. Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los quando possível. Novamente, isso envolve calcular as derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 7
Encontramos os pontos críticos resolvendo
e
.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 8
Vamos classificar o ponto crítico
usando o teste da segunda derivada.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
O determinante de
é:
Como
e
, o ponto crítico
é um ponto de mínimo.
Passo 9
Por último, vamos examinar a função
. Precisamos determinar os pontos críticos e classificá-los quando possível. Essa função é um pouco mais complexa, mas seguimos o mesmo procedimento: calcular derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 10
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 11
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
e
.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Portanto, o único ponto crítico real é
.
Passo 12
Vamos tentar classificar o ponto crítico encontrado. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico
:
A matriz Hessiana
é:
O determinante de
é:
Como
, o teste da segunda derivada não é conclusivo. Portanto, não podemos classificar o ponto crítico
usando esse método.
Resposta
O ponto crítico da função
é
. Não foi possível classificá-lo usando o teste da segunda derivada.