A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui 300 mil metros cúbicos de água, há 2000 kg de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3000 metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização de 100 gramas de flúor por metros cúbicos. (a) determine a quantidade de flúor no reservatório em um tempo t qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A prefeitura quer ajustar a quantidade de flúor na água do reservatório da cidade. A gente tem que descobrir quanto flúor vai ter no reservatório em qualquer momento . Pra isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como uma quantidade muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
  • : quantidade de flúor no reservatório em tempo (em gramas).
  • : volume do reservatório, que é metros cúbicos.
  • : quantidade inicial de flúor, que é kg, ou seja, gramas.
  • : concentração de flúor na água que entra no reservatório, que é gramas por metro cúbico.
  • : volume de água consumido por dia, que é metros cúbicos.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como a quantidade de flúor muda com o tempo. Todo dia, m³ de água são consumidos e substituídos por água nova com g/m³ de flúor. Isso significa que a quantidade de flúor sai do reservatório e entra outra quantidade nova.
A taxa de saída de flúor é proporcional à concentração atual de flúor no reservatório. A concentração no reservatório é . Então, a taxa de saída é:
í
A taxa de entrada de flúor é constante:
Então, a equação que descreve a mudança de é:
í

Passo 4

Temos uma equação diferencial linear da forma:
Pra resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 5

Para achar a constante , usamos a condição inicial. Sabemos que no tempo , a quantidade de flúor é gramas.
Substituindo na equação:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a solução completa da equação:

Resposta

A quantidade de flúor no reservatório em um tempo qualquer é dada por:

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