A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui
metros cúbicos de água, há
de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3000 metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização de
gramas de flúor por metros cúbicos. (a) determine a quantidade de flúor no reservatório em um tempo
qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A prefeitura quer ajustar a quantidade de flúor na água do reservatório da cidade. A gente tem que descobrir quanto flúor vai ter no reservatório em qualquer momento
. Pra isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, que nos ajudam a modelar como uma quantidade muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar:
-
: quantidade de flúor no reservatório em tempo (em gramas). -
: volume do reservatório, que é metros cúbicos. -
: quantidade inicial de flúor, que é kg, ou seja, gramas. -
: concentração de flúor na água que entra no reservatório, que é gramas por metro cúbico. -
: volume de água consumido por dia, que é metros cúbicos.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como a quantidade de flúor muda com o tempo. Todo dia,
m³ de água são consumidos e substituídos por água nova com
g/m³ de flúor. Isso significa que a quantidade de flúor sai do reservatório e entra outra quantidade nova.
A taxa de saída de flúor é proporcional à concentração atual de flúor no reservatório. A concentração no reservatório é
. Então, a taxa de saída é:
A taxa de entrada de flúor é constante:
Então, a equação que descreve a mudança de
é:
Passo 4
Temos uma equação diferencial linear da forma:
Pra resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 5
Para achar a constante
, usamos a condição inicial. Sabemos que no tempo
, a quantidade de flúor é
gramas.
Substituindo na equação:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a solução completa da equação:
Resposta
A quantidade de flúor no reservatório em um tempo
qualquer é dada por: