Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada é tomada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver um exercício que pede pra usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha. O Teorema de Green é uma ferramenta da matemática que liga integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema, identificar as funções envolvidas e calcular as integrais correspondentes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada no plano em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula geral é:
Aqui, e são funções de e . Então, a gente precisa identificar e na integral de linha que queremos calcular.

Passo 3

Vamos supor que a integral de linha seja do tipo:
Nesse caso, e . A gente precisa derivar em relação a e em relação a , para depois fazer a subtração desses resultados, conforme o teorema.

Passo 4

Depois de encontrar e , a gente monta a integral dupla:
Essa integral dupla vai ser sobre a região delimitada pela curva . Dependendo da forma de , podemos usar coordenadas retangulares, polares ou outras para facilitar o cálculo.

Passo 5

Vamos calcular a integral dupla resultante. Isso pode envolver:
  1. Escolher os limites de integração apropriados para e (ou outras coordenadas, se for o caso).
  2. Integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
  3. Simplificar os cálculos utilizando simetrias ou propriedades da região .

Passo 6

Depois de calcular a integral dupla, teremos o valor da integral de linha original. Esse será o resultado final que a gente estava buscando.

Resposta

Seguindo os passos acima e aplicando o Teorema de Green, a integral de linha ao redor da curva no sentido anti-horário é igual ao valor obtido na integral dupla calculada. Portanto, a resposta final é:

Exercícios relacionados

onde e é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .
onde e é o triângulo de vértices tomado no sentido anti-horário.
Sobre os vetores e escalares, respondei o que se pede abaixo.
c) A velocidade de uma partícula em dado instante de tempo é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.