Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada
é tomada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver um exercício que pede pra usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha. O Teorema de Green é uma ferramenta da matemática que liga integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana. A gente vai precisar entender como aplicar esse teorema, identificar as funções envolvidas e calcular as integrais correspondentes. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
no plano em uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula geral é:
Aqui,
e
são funções de
e
. Então, a gente precisa identificar
e
na integral de linha que queremos calcular.
Passo 3
Vamos supor que a integral de linha seja do tipo:
Nesse caso,
e
. A gente precisa derivar
em relação a
e
em relação a
, para depois fazer a subtração desses resultados, conforme o teorema.
Passo 4
Depois de encontrar
e
, a gente monta a integral dupla:
Essa integral dupla vai ser sobre a região
delimitada pela curva
. Dependendo da forma de
, podemos usar coordenadas retangulares, polares ou outras para facilitar o cálculo.
Passo 5
Vamos calcular a integral dupla resultante. Isso pode envolver:
- Escolher os limites de integração apropriados para
e (ou outras coordenadas, se for o caso). - Integrar primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
- Simplificar os cálculos utilizando simetrias ou propriedades da região
.
Passo 6
Depois de calcular a integral dupla, teremos o valor da integral de linha original. Esse será o resultado final que a gente estava buscando.
Resposta
Seguindo os passos acima e aplicando o Teorema de Green, a integral de linha ao redor da curva
no sentido anti-horário é igual ao valor obtido na integral dupla calculada. Portanto, a resposta final é:
Exercícios relacionados
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .
d)
Sobre os vetores e escalares, respondei o que se pede abaixo.
c) A velocidade de uma partícula em dado instante de tempo é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.
c) A velocidade de uma partícula em dado instante de tempo é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.