Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma esfera para encontrar o centro e o raio dela. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de segundo grau em três dimensões. Vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis (
,
,
) para transformar essa equação na forma padrão da equação de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável individualmente.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar uma expressão quadrática em uma forma que facilita a identificação do centro e do raio.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar os termos quadráticos:
Agora, essa é a forma padrão da equação de uma esfera:
Onde
é o centro e
é o raio da esfera.
Resposta
A esfera tem centro em
e raio igual a
.