Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
b) x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 2z + 17 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma esfera para encontrar o centro e o raio dela. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de segundo grau em três dimensões. Vamos precisar completar o quadrado para cada uma das variáveis ( x, y, z) para transformar essa equação na forma padrão da equação de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável individualmente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Completar o quadrado é uma técnica usada para transformar uma expressão quadrática em uma forma que facilita a identificação do centro e do raio.
Para x:
Para y:
Para z:

Passo 4

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar os termos quadráticos:
Agora, essa é a forma padrão da equação de uma esfera:
Onde é o centro e r é o raio da esfera.

Resposta

A esfera tem centro em e raio igual a .

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