Determine se a série converge ou diverge.
39 sumn=1^infty sen 1n^2

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar se a série
Resumo:
Queremos saber se essa série infinita converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Vamos usar conhecimentos de análise de séries, especificamente testes de convergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série. O número 39 é uma constante e pode ser fatorado para fora da soma:
Como multiplicar uma série por uma constante não afeta sua convergência, podemos focar na série:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é .
Sabemos que, para valores pequenos de sen(x) approx x , a função seno pode ser aproximada por:
Para sen(1n^2) approx 1n^2 , quando é grande, temos:

Passo 4

Como se comporta de forma semelhante a sumn=1^infty 1n^p para grandes valores de , podemos comparar nossa série com a série .
Sabemos que a série:
é uma p-série que converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 5

Como a série tem termos menores ou iguais a e a série converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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