Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar se a série
Resumo:
Queremos saber se essa série infinita converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Vamos usar conhecimentos de análise de séries, especificamente testes de convergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série. O número 39 é uma constante e pode ser fatorado para fora da soma:
Como multiplicar uma série por uma constante não afeta sua convergência, podemos focar na série:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é .
Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por:
Para , quando é grande, temos:

Passo 4

Como se comporta de forma semelhante a para grandes valores de , podemos comparar nossa série com a série .
Sabemos que a série:
é uma p-série que converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 5

Como a série tem termos menores ou iguais a e a série converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(1)
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
b) .