(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(1)
(1)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente usar o teste da integral para analisar a série
. Primeiro, precisamos entender o que é o teste da integral e identificar a função que representa o termo geral da série, que nesse caso é
. Vamos precisar verificar se essa função atende aos critérios do teste da integral e, em seguida, aplicar o teste para ver se a série converge ou diverge.
Passo 2
O teste da integral nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral impropria. Para aplicar o teste, a função
correspondente aos termos da série precisa ser positiva, contínua e decrescente para
(algum número natural
).
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz esses critérios:
- Positiva: Como o denominador
é sempre positivo para qualquer valor de , também é positiva. - Contínua: A função é composta por polinômios no numerador e denominador, sendo contínua em todo o seu domínio.
- Decrescente: Para ver se
é decrescente, podemos calcular sua derivada: Como a derivada é negativa para todo , a função é decrescente.
Passo 4
Agora que confirmamos que
é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o teste da integral. Vamos calcular a integral de
de 1 até
:
Passo 5
Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
ou
. Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando
, temos:
A integral converge e seu valor é
.
Passo 7
Segundo o teste da integral, se a integral de
de 1 até
converge, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.
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Determine se a série converge ou diverge.
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b) .
b)
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a) Defini, com vossas palavras, o que é um vetor e o que é um ponto.
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