(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente usar o teste da integral para analisar a série . Primeiro, precisamos entender o que é o teste da integral e identificar a função que representa o termo geral da série, que nesse caso é . Vamos precisar verificar se essa função atende aos critérios do teste da integral e, em seguida, aplicar o teste para ver se a série converge ou diverge.

Passo 2

O teste da integral nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral impropria. Para aplicar o teste, a função correspondente aos termos da série precisa ser positiva, contínua e decrescente para (algum número natural ).

Passo 3

Vamos verificar se a função satisfaz esses critérios:
  1. Positiva: Como o denominador é sempre positivo para qualquer valor de , também é positiva.
  2. Contínua: A função é composta por polinômios no numerador e denominador, sendo contínua em todo o seu domínio.
  3. Decrescente: Para ver se é decrescente, podemos calcular sua derivada: Como a derivada é negativa para todo , a função é decrescente.

Passo 4

Agora que confirmamos que é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o teste da integral. Vamos calcular a integral de de 1 até :

Passo 5

Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então ou . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando , temos:
A integral converge e seu valor é .

Passo 7

Segundo o teste da integral, se a integral de de 1 até converge, então a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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