Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e)
.
e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação que representa uma casca esférica:
Queremos descobrir a origem (o centro) e o raio dessa esfera. Para isso, vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente a forma padrão da equação de uma esfera e o método de completar o quadrado.
Passo 2
Vamos reescrever a equação agrupando os termos de
,
e
:
Aqui, percebemos que temos termos quadráticos e lineares em
e
, mas apenas o termo
sem termo linear. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão da esfera:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é 10, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 25:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
:
Pegamos o coeficiente de
, que é -1, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Substituímos essas expressões na equação original:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isolamos os termos quadráticos:
Somando os termos do lado direito:
Então, a equação padrão da esfera é:
Resposta
A esfera tem origem no ponto
e raio igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função que satisfaz
(i) , para todo
,
(ii) , para todo
.
Determine .
(i)
(ii)
Determine
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
c) .
c)
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
c) .
c)
Suponha que
tenha um valor constante de 8 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.