Seja f uma função que satisfaz
(i) 11+9 x <= f(x) <= 2+6 x, para todo x<-3,
(ii) 2+6 x <= f(x) <= 11+9 x, para todo x>-3.
Determine lim x -3 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre limites! O enunciado nos dá informações sobre uma função e pede para determinarmos o limite dela quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema das Entrelinhas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as desigualdades fornecidas:
Para todo 11 + 9x <= f(x) <= 2 + 6x :
2 + 6x <= f(x) <= 11 + 9x
Para todo :
Isso significa que está entre duas funções lineares diferentes dependendo se é menor ou maior que .

Passo 3

Para encontrar o limite de limx to -3^- (11 + 9x) = 11 + 9(-3) = 11 - 27 = -16 quando limx to -3^- (2 + 6x) = 2 + 6(-3) = 2 - 18 = -16 se aproxima de , vamos calcular os limites das funções que estão “sanduichando” nas duas direções.
Primeiro, calculamos o limite das funções para se aproximando de pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite das funções para limx to -3^+ (2 + 6x) = 2 + 6(-3) = 2 - 18 = -16 se aproximando de limx to -3^+ (11 + 9x) = 11 + 9(-3) = 11 - 27 = -16 pela direita ( ):

Passo 5

Observamos que, tanto pela esquerda quanto pela direita, as duas funções que “sanduicham” têm o mesmo limite, que é . Segundo o Teorema do Sanduíche, se está sempre entre duas funções que tendem para o mesmo limite, então também tende para esse limite.

Resposta

limx -3 f(x) = -16

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