Seja uma função que satisfaz
(i) , para todo ,
(ii) , para todo .
Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre limites! O enunciado nos dá informações sobre uma função e pede para determinarmos o limite dela quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema das Entrelinhas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as desigualdades fornecidas:
Para todo :
Para todo :
Isso significa que está entre duas funções lineares diferentes dependendo se é menor ou maior que .

Passo 3

Para encontrar o limite de quando se aproxima de , vamos calcular os limites das funções que estão “sanduichando” nas duas direções.
Primeiro, calculamos o limite das funções para se aproximando de pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, calculamos o limite das funções para se aproximando de pela direita ( ):

Passo 5

Observamos que, tanto pela esquerda quanto pela direita, as duas funções que “sanduicham” têm o mesmo limite, que é . Segundo o Teorema do Sanduíche, se está sempre entre duas funções que tendem para o mesmo limite, então também tende para esse limite.

Resposta

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Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
c) .
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
d) e .
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e) .
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
c) .