Suponha que
tenha um valor constante de 8 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema onde o raio
é constante em 8 polegadas, mas a altura
está mudando. O objetivo aqui é descobrir como o volume
está variando conforme
varia, especificamente quando
polegadas. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais precisamente em taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um cilindro e derivar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
Aqui,
é o raio da base do cilindro e
é a altura.
Passo 3
Como o raio
é constante (sempre 8 polegadas), a única coisa que está mudando é a altura
. Queremos saber como
muda quando
muda, ou seja, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, que é representada por:
Passo 4
Vamos derivar a fórmula do volume com relação a
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Isso significa que a taxa de variação do volume em relaç��o à altura é simplesmente
.
Passo 5
Agora, vamos substituir o valor do raio
polegadas na equação que encontramos:
Então, a taxa de variação do volume em relação à altura é
polegadas cúbicas por polegada.
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
quando
polegadas é
pol³/pol.
Exercícios relacionados
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
c) .
c)
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e) .
e)
Encontrai os vetores conectando os pontos abaixo.
a) e
.
a)
Calculai a soma
para os vetores abaixo.
e) e
.
e)