Suponha que tenha um valor constante de 8 pol, mas que varie. Determine a taxa de variação de em relação a no ponto onde pol.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema onde o raio é constante em 8 polegadas, mas a altura está mudando. O objetivo aqui é descobrir como o volume está variando conforme varia, especificamente quando polegadas. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais precisamente em taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um cilindro e derivar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
Aqui, é o raio da base do cilindro e é a altura.

Passo 3

Como o raio é constante (sempre 8 polegadas), a única coisa que está mudando é a altura . Queremos saber como muda quando muda, ou seja, queremos encontrar a derivada de em relação a , que é representada por:

Passo 4

Vamos derivar a fórmula do volume com relação a . Diferenciando em relação a , temos:
Isso significa que a taxa de variação do volume em relaç��o à altura é simplesmente .

Passo 5

Agora, vamos substituir o valor do raio polegadas na equação que encontramos:
Então, a taxa de variação do volume em relação à altura é polegadas cúbicas por polegada.

Resposta

A taxa de variação de em relação a quando polegadas é pol³/pol.

Exercícios relacionados

Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
c) .
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e) .
Encontrai os vetores conectando os pontos abaixo.
a) e .
Calculai a soma para os vetores abaixo.
e) e .