Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados , onde é o segmento de reta de a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar um limite superior para o valor absoluto de uma integral ao longo de um contorno específico. O contorno é um segmento de reta que vai de até . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, especialmente a Estimativa de Integral de Cauchy (também conhecida como desigualdade de ML), que nos ajuda a encontrar limites para integrais ao longo de caminhos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral . Em termos simples, queremos saber o máximo que esse valor pode ser, sem precisar calcular a integral exatamente.
Passo 3
A Estimativa de Integral de Cauchy nos diz que o valor absoluto da integral de uma função ao longo de um contorno |ointC f(z) , dz | <= M cdot L é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo máximo valor absoluto da função nesse contorno. Matematicamente, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é encontrar e .
Passo 4
Vamos calcular o comprimento do contorno L = |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Como é um segmento de reta de até , o comprimento é a distância entre esses dois pontos no plano complexo. Isso pode ser calculado usando a fórmula da distância:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o máximo valor absoluto da função |z^2 + 4| <= |z^2| + |4| ao longo do contorno |z^2| = |z|^2 <= (raiz2)^2 = 2 . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular para funções complexas:
|z^2 + 4| <= 2 + 4 = 6
Sabemos que ao longo de varia de a , então:
Portanto:
Assim, .
Passo 6
Aplicando a Estimativa de Integral de Cauchy, temos:
|ointC (z^2 + 4) , dz | <= M cdot L = 6 cdot raiz2
Resposta
Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .