Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados , onde é o segmento de reta de a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar um limite superior para o valor absoluto de uma integral ao longo de um contorno específico. O contorno é um segmento de reta que vai de até . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo complexo, especialmente a **Estimativa de Integral de Cauchy** (também conhecida como desigualdade de ML), que nos ajuda a encontrar limites para integrais ao longo de caminhos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um limite superior para o valor absoluto da integral . Em termos simples, queremos saber o máximo que esse valor pode ser, sem precisar calcular a integral exatamente.
Passo 3
A **Estimativa de Integral de Cauchy** nos diz que o valor absoluto da integral de uma função ao longo de um contorno é menor ou igual ao produto do comprimento do contorno pelo máximo valor absoluto da função nesse contorno. Matematicamente, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é encontrar e .
Passo 4
Vamos calcular o comprimento do contorno . Como é um segmento de reta de até , o comprimento é a distância entre esses dois pontos no plano complexo. Isso pode ser calculado usando a fórmula da distância:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o máximo valor absoluto da função ao longo do contorno . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular para funções complexas:
Sabemos que ao longo de varia de a , então:
Portanto:
Assim, .
Passo 6
Aplicando a **Estimativa de Integral de Cauchy**, temos:
Resposta
Um limitante superior para o valor absoluto da integral é .