O determinante de uma matriz A é 36. Qual é o valor do determinante de uma matriz B, formada a partir de A através da multiplicação da primeira linha de A por 2 e pela divisão da primeira coluna de A por 9 ?

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem uma matriz A cujo determinante é 36. A tarefa é descobrir o determinante de uma nova matriz B, que vem da matriz A fazendo duas coisas: multiplicar a primeira linha de A por 2 e dividir a primeira coluna de A por 9. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos determinantes das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a multiplicação da primeira linha de A por 2. Uma propriedade importante dos determinantes diz que se a gente multiplica uma linha inteira de uma matriz por um número, o determinante da matriz é multiplicado por esse mesmo número.
Então, ao multiplicar a primeira linha de A por 2, o novo determinante, que vamos chamar de det(A'), fica assim:
det(A') = 2 times det(A) = 2 times 36 = 72

Passo 3

Agora, vamos tratar da segunda operação: dividir a primeira coluna de A por 9. Dividir uma coluna por 9 é o mesmo que multiplicar essa coluna por 19. Novamente, usando a propriedade dos determinantes, se a gente multiplica uma coluna por um número, o determinante da matriz é multiplicado por esse número.
Aplicando isso ao nosso caso:
det(B) = 19 times det(A') = 19 times 72 = 8

Resposta

O determinante da matriz B é 8.

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