Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
(y-4)^29+(x+2)^21=1

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolvê-la.
Enunciado: Determinar o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse dada por
(y-4)^29+(x+2)^21=1
Conteúdo: Vamos trabalhar com a forma padrão da equação da elipse e identificar seus elementos principais.
O que precisamos: Entender como comparar a equação dada com a forma padrão para encontrar o centro, os eixos, os focos e a excentricidade.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada em (y - k)^2a^2 + (x - h)^2b^2 = 1:
Aqui:
  • é o semi-eixo maior.
  • é o semi-eixo menor.
  • Se , o eixo maior está na direção ; se , está na direção .

Passo 3

Comparando a equação dada com a forma padrão:
(y - 4)^29 + (x + 2)^21 = 1
Podemos identificar:
  • então
  • então

Passo 4

Centro da elipse: O centro é .

Passo 5

Eixo maior e eixo menor:
Como e , e , o eixo maior está na direção e o eixo menor na direção .
  • Eixo maior: ao longo do eixo , com comprimento total de .
  • Eixo menor: ao longo do eixo , com comprimento total de .

Passo 6

Distância focal ©: A distância dos focos ao centro é dada por:
c = raiza^2 - b^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2

Passo 7

Coordenadas dos focos: Como o eixo maior está na direção , os focos estarão acima e abaixo do centro ao longo do eixo .
  • Foco 1:
  • Foco 2:

Passo 8

Excentricidade (e): A excentricidade é dada por:
e = ca = 2raiz23

Resposta

  • Centro:
  • Eixo maior: Alongado no eixo , com comprimento .
  • Eixo menor: Alongado no eixo , com comprimento .
  • Distância focal:
  • Coordenadas dos focos: e
  • Excentricidade:

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