Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles
(x-3)^29-(y-4)^216=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa hipérbole juntos! O enunciado nos pede para encontrar o centro, as medidas dos eixos real e imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole dada pela equação:
(x-3)^29 - (y-4)^216 = 1
Para isso, vamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal, que é:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Aqui, é o centro da hipérbole, é a medida do semieixo real, e é a medida do semieixo imaginário. Também precisaremos calcular a excentricidade e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Na forma padrão, o centro é dado por (x-3)^29 - (y-4)^216 = 1 . Comparando com a equação fornecida:
C = (3, 4)
Podemos ver que e . Portanto, o centro é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as medidas dos eixos real e imaginário. Na forma padrão:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Temos que a = raiz9 = 3 b = raiz16 = 4 e . Calculando e :
Então, o eixo real tem comprimento e o eixo imaginário tem comprimento .

Passo 4

Vamos calcular a excentricidade e = raiz1 + b^2a^2 da hipérbole. A excentricidade mede o quanto a hipérbole é alongada ou arredondada e é dada por:
e = raiz1 + 169 = raiz259 = 53 approx 1,6667
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Por fim, vamos determinar as posições dos focos. Para uma hipérbole horizontal, os focos estão localizados a uma distância c = e cdot a do centro, onde:
c = 53 cdot 3 = 5
Calculando F1 = (3 - 5, 4) = (-2, 4) F2 = (3 + 5, 4) = (8, 4) :
Então, os focos estão a 5 unidades à esquerda e à direita do centro. Portanto, as coordenadas dos focos são:

Resposta

  • Centro:
  • Eixo real: comprimento
  • Eixo imaginário: comprimento
  • Excentricidade: ou aproximadamente
  • Focos: e

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