Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa hipérbole juntos! O enunciado nos pede para encontrar o centro, as medidas dos eixos real e imaginário, a excentricidade e os focos da hipérbole dada pela equação:
Para isso, vamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole horizontal, que é:
Aqui,
é o centro da hipérbole,
é a medida do semieixo real, e
é a medida do semieixo imaginário. Também precisaremos calcular a excentricidade
e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Na forma padrão, o centro é dado por
. Comparando com a equação fornecida:
Podemos ver que
e
. Portanto, o centro é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as medidas dos eixos real e imaginário. Na forma padrão:
Temos que
e
. Calculando
e
:
Então, o eixo real tem comprimento
e o eixo imaginário tem comprimento
.
Passo 4
Vamos calcular a excentricidade
da hipérbole. A excentricidade mede o quanto a hipérbole é alongada ou arredondada e é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Por fim, vamos determinar as posições dos focos. Para uma hipérbole horizontal, os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde:
Calculando
:
Então, os focos estão a 5 unidades à esquerda e à direita do centro. Portanto, as coordenadas dos focos são:
Resposta
- Centro:
- Eixo real: comprimento
- Eixo imaginário: comprimento
- Excentricidade:
ou aproximadamente - Focos:
e