Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar várias características dessa elipse: o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação geral da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. A equação da elipse é dada por:
Aqui,
é o centro da elipse. No nosso caso, a equação é:
Comparando as duas equações, vemos que
e
. Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
e
, que representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Na equação padrão:
-
está debaixo do termo com maior denominador. -
está debaixo do outro termo.
No nosso caso,
, então
e
. Calculando
e
:
Portanto, o semi-eixo maior
e o semi-eixo menor
.
Passo 4
Com os valores de
e
, podemos determinar os comprimentos dos eixos maior e menor:
- Eixo maior:
- Eixo menor:
Então, o eixo maior tem comprimento 10 unidades e o eixo menor tem comprimento 8 unidades.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distância focal
. A relação entre
,
e
numa elipse é:
Substituindo os valores:
Então, a distância focal
.
Passo 6
Com a distância focal
, podemos determinar as coordenadas dos focos. Como a elipse está alinhada horizontalmente (porque
está sob o termo de
), os focos ficam nas extremidades do eixo maior, a uma distância
do centro.
Centro:
Focos:
e
Substituindo:
Então, os focos estão em
e
.
Passo 7
Por fim, vamos calcular a excentricidade
da elipse. A excentricidade é dada por:
Substituindo os valores:
Então, a excentricidade
.
Resposta
Centro:
Eixo maior: comprimento 10 unidades
Eixo menor: comprimento 8 unidades
Distância focal: unidades
Focos: e
Excentricidade:
Eixo maior: comprimento 10 unidades
Eixo menor: comprimento 8 unidades
Distância focal:
Focos:
Excentricidade: