Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
(x-6)^225+y^216=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar várias características dessa elipse: o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação geral da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. A equação da elipse é dada por:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da elipse. No nosso caso, a equação é:
(x - 6)^225 + y^216 = 1
Comparando as duas equações, vemos que h = 6 e k = 0. Então, o centro da elipse é (6, 0).

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a e b, que representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. Na equação padrão:
  • a^2 está debaixo do termo com maior denominador.
  • b^2 está debaixo do outro termo.
No nosso caso, 25 > 16, então a^2 = 25 e b^2 = 16. Calculando a e b:
a = raiz25 = 5 b = raiz16 = 4
Portanto, o semi-eixo maior a = 5 e o semi-eixo menor b = 4.

Passo 4

Com os valores de a e b, podemos determinar os comprimentos dos eixos maior e menor:
  • Eixo maior: 2a = 2 times 5 = 10
  • Eixo menor: 2b = 2 times 4 = 8
Então, o eixo maior tem comprimento 10 unidades e o eixo menor tem comprimento 8 unidades.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância focal c. A relação entre a, b e c numa elipse é:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz25 - 16 = raiz9 = 3
Então, a distância focal c = 3.

Passo 6

Com a distância focal c, podemos determinar as coordenadas dos focos. Como a elipse está alinhada horizontalmente (porque a^2 está sob o termo de x), os focos ficam nas extremidades do eixo maior, a uma distância c do centro.
Centro: (6, 0)
Focos: (h + c, k) e (h - c, k)
Substituindo:
F1 = (6 + 3, 0) = (9, 0) F2 = (6 - 3, 0) = (3, 0)
Então, os focos estão em (9, 0) e (3, 0).

Passo 7

Por fim, vamos calcular a excentricidade e da elipse. A excentricidade é dada por:
e = ca
Substituindo os valores:
e = 35 = 0,6
Então, a excentricidade e = 0,6.

Resposta

Centro: (6, 0)
Eixo maior: comprimento 10 unidades
Eixo menor: comprimento 8 unidades
Distância focal: 3 unidades
Focos: (9, 0) e (3, 0)
Excentricidade: 0,6

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