Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que det(A)=5, determine:
(a) det(A^t)
(b) det(A^2)
© det(5 A^-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada de ordem com determinante igual a 5, ou seja, . Vamos precisar usar algumas propriedades básicas dos determinantes para encontrar:
(a)
(b)
©

Passo 2

(a) det(A^t) = det(A)
Primeiro, vamos falar sobre a transposição de uma matriz. A transposta de uma matriz det(A^t) = 5 , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas. Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. Matemáticamente, isso é escrito como:
Sabendo que , então:

Passo 3

(b) det(A^2) = det(A cdot A) = det(A) cdot det(A) = (det(A))^2
Agora, vamos falar sobre o quadrado de uma matriz, que é simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma, det(A^2) = 5^2 = 25 .
Uma propriedade útil aqui é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Então, para :
Substituindo :

Passo 4

© det(A^-1) = 1det(A)
Vamos por partes. Primeiro, det(A^-1) = 15 é a matriz inversa de det(cA) = c^n det(A) . Uma propriedade importante do determinante da matriz inversa é:
det(5 A^-1) = 5^n cdot det(A^-1) = 5^n cdot 15 = 5^n-1
Então,
Agora, multiplicar uma matriz por um escalar (no caso, 5) afeta o determinante multiplicando por , onde é a ordem da matriz (quantidade de linhas ou colunas, já que é quadrada). A propriedade é:
Aplicando isso a :

Resposta

(a)
(b)
©

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