Sabendo que
é uma matriz quadrada de ordem
e que
, determine:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada
de ordem
com determinante igual a 5, ou seja,
. Vamos precisar usar algumas propriedades básicas dos determinantes para encontrar:
(a)
(b)
©
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos falar sobre a transposição de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando suas linhas por colunas. Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. Matemáticamente, isso é escrito como:
Sabendo que
, então:
Passo 3
(b)
Agora, vamos falar sobre o quadrado de uma matriz, que é simplesmente a matriz multiplicada por ela mesma,
.
Uma propriedade útil aqui é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Então, para
:
Substituindo
:
Passo 4
©
Vamos por partes. Primeiro,
é a matriz inversa de
. Uma propriedade importante do determinante da matriz inversa é:
Então,
Agora, multiplicar uma matriz por um escalar (no caso, 5) afeta o determinante multiplicando por
, onde
é a ordem da matriz (quantidade de linhas ou colunas, já que é quadrada). A propriedade é:
Aplicando isso a
:
Resposta
(a)
(b)
©