O determinante da matriz é positivo em qual intervalo de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada e descobrir para quais valores de esse determinante é positivo. Isso tá dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz pra gente:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Uma forma fácil de fazer isso é usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace (expansão por cofatores). Vou usar a expansão pela primeira linha:
Simplificando isso:
Então, o determinante é .

Passo 3

Agora, queremos saber quando esse determinante é positivo. Ou seja, precisamos resolver a inequação:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, colocamos tudo igual a zero para achar os pontos críticos:
Assim, as soluções são e . Esses valores dividem a linha dos números reais em três intervalos: , e .
Vamos testar um valor de cada intervalo na inequação :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
Então, o determinante é positivo quando ou .

Resposta

O determinante da matriz é positivo para todos os valores de tais que ou . Ou seja, o intervalo é .

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e
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e