O determinante da matriz A=(ccc1 & 0 & -1 0 & x & 0 x & 0 & -1) é positivo em qual intervalo de x in R ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz dada e descobrir para quais valores de esse determinante é positivo. Isso tá dentro da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 0 & -1 0 & x & 0 x & 0 & -1 pra gente:
det(A) = 1 cdot det x & 0 0 & -1 - 0 cdot det 0 & 0 x & -1 + (-1) cdot det 0 & x x & 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Uma forma fácil de fazer isso é usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace (expansão por cofatores). Vou usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = 1 cdot (x cdot (-1) - 0 cdot 0) - 0 + (-1) cdot (0 cdot 0 - x cdot x)
Simplificando isso:
det(A) = 1 cdot (-x) + (-1) cdot (-x^2)
det(A) = -x + x^2
Então, o determinante é .

Passo 3

Agora, queremos saber quando esse determinante é positivo. Ou seja, precisamos resolver a inequação:
x^2 - x > 0
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, colocamos tudo igual a zero para achar os pontos críticos:
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
Assim, as soluções são (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2 > 0 e (0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 < 0 . Esses valores dividem a linha dos números reais em três intervalos: 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0 , e .
Vamos testar um valor de cada intervalo na inequação :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
  1. Para , por exemplo :
Então, o determinante é positivo quando ou .

Resposta

O determinante da matriz é positivo para todos os valores de tais que ou . Ou seja, o intervalo é .

Exercícios relacionados