Determine, caso exista, o ponto de interseção das retas e : e
Passo 1
Vamos lá! Temos duas retas no espaço, e , e queremos descobrir se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, qual é esse ponto? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações das retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações de cada reta:
A reta está descrita por:
Isso significa que para qualquer valor de na reta , os valores de e são determinados por essas equações.
Já a reta está dada de forma fracionária:
Podemos reescrever isso de forma paramétrica para facilitar. Vamos usar um parâmetro :
Assim, qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o valor de .
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos que as coordenadas y = 2x - 3 , y = 3t + 4 e x = t e 3t + 4 = 2t - 3 sejam iguais nas duas retas. Vamos igualar as equações de 3t + 4 = 2t - 3 3t - 2t = -3 - 4 t = -7 e :
Primeiro, da reta :
Da reta :
Substituindo na equação de da :
Resolvendo para :
Passo 4
Agora que encontramos x = t = -7 y = 3(-7) + 4 = -21 + 4 = -17 z = -2(-7) - 1 = 14 - 1 = 13 , vamos encontrar as coordenadas , e na reta :