Determine, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2 :
r1:ly=2 x-3 z=-x-10 e r2: x=y-43=z+1-2

Passo 1

Vamos lá! Temos duas retas no espaço, e , e queremos descobrir se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, qual é esse ponto? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações das retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações de cada reta:
A reta y = 2x - 3 z = -x - 10 está descrita por:
x = y - 43 = z + 1-2
Isso significa que para qualquer valor de x = t y = 3t + 4 z = -2t - 1 na reta , os valores de e são determinados por essas equações.
Já a reta está dada de forma fracionária:
Podemos reescrever isso de forma paramétrica para facilitar. Vamos usar um parâmetro :
Assim, qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o valor de .

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos que as coordenadas y = 2x - 3 , y = 3t + 4 e x = t e 3t + 4 = 2t - 3 sejam iguais nas duas retas. Vamos igualar as equações de 3t + 4 = 2t - 3 3t - 2t = -3 - 4 t = -7 e :
Primeiro, da reta :
Da reta :
Substituindo na equação de da :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que encontramos x = t = -7 y = 3(-7) + 4 = -21 + 4 = -17 z = -2(-7) - 1 = 14 - 1 = 13 , vamos encontrar as coordenadas , e na reta :

Resposta

O ponto de interseção das retas e é .

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