Para o triângulo de vértices
, e
, em cada item, faça o que se pede.
Determine as equações simétricas para a reta suporte da altura relativa ao lado
, para o caso em que
e
.
Determine as equações simétricas para a reta suporte da altura relativa ao lado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices
,
e
. A tarefa é encontrar as equações simétricas da reta que representa a altura relativa ao lado
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma altura em um triângulo. A altura relativa a um lado é uma linha que passa por um vértice e é perpendicular a esse lado. No nosso caso, queremos a altura que parte do vértice
e é perpendicular ao lado
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta
. Os pontos
e
têm coordenadas:
O vetor diretor
é dado por:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular a
. Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar zero.
Vamos chamar o vetor diretor da altura de
. Então:
Passo 5
Além disso, o ponto
está na altura, então a equação vetorial da altura pode ser escrita como:
Onde
é um parâmetro real.
Para encontrar
, precisamos de mais uma condição. Sabemos que a altura intercepta o lado
em algum ponto
. Portanto, o vetor
também deve ser perpendicular a
.
Passo 6
Vamos encontrar o ponto
na reta
tal que
seja perpendicular a
. A equação paramétrica de
é:
O vetor
é:
Passo 7
Para que
seja perpendicular a
, o produto escalar deve ser zero:
Passo 8
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar as coordenadas do ponto
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, podemos escrever a equação vetorial da altura usando o ponto
e o vetor
:
Resposta
As equações simétricas da reta suporte da altura relativa ao lado
são:
Ou simplificando os denominadores: