Para o triângulo de vértices A, B, e C, em cada item, faça o que se pede.
Determine as equações simétricas para a reta suporte da altura relativa ao lado B C, para o caso em que A=(3,3,3), B=(0,1,3) e C=(6,15,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A tarefa é encontrar as equações simétricas da reta que representa a altura relativa ao lado . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma altura em um triângulo. A altura relativa a um lado é uma linha que passa por um vértice e é perpendicular a esse lado. No nosso caso, queremos a altura que parte do vértice e é perpendicular ao lado .

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta B = (0, 1, 3) . Os pontos C = (6, 15, -3) e BC = C - B = (6 - 0, 15 - 1, -3 - 3) = (6, 14, -6) têm coordenadas:
O vetor diretor é dado por:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto u cdot BC = 0 e é perpendicular a ux cdot 6 + uy cdot 14 + uz cdot (-6) = 0 . Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar zero.
Vamos chamar o vetor diretor da altura de 6ux + 14uy - 6uz = 0 . Então:

Passo 5

Além disso, o ponto r = A + t cdot u está na altura, então a equação vetorial da altura pode ser escrita como:
Onde é um parâmetro real.
Para encontrar , precisamos de mais uma condição. Sabemos que a altura intercepta o lado em algum ponto . Portanto, o vetor também deve ser perpendicular a .

Passo 6

Vamos encontrar o ponto D = B + s cdot BC = (0, 1, 3) + s cdot (6, 14, -6) = (6s, 1 + 14s, 3 - 6s) na reta AD = D - A = (6s - 3, 1 + 14s - 3, 3 - 6s - 3) = (6s - 3, 14s - 2, -6s) tal que seja perpendicular a . A equação paramétrica de é:
O vetor é:

Passo 7

Para que AD cdot BC = 0 seja perpendicular a (6s - 3) cdot 6 + (14s - 2) cdot 14 + (-6s) cdot (-6) = 0 , o produto escalar deve ser zero:
36s - 18 + 196s - 28 + 36s = 0
(36s + 196s + 36s) + (-18 - 28) = 0
268s - 46 = 0
268s = 46
s = 46268
s = 23134

Passo 8

Agora que temos o valor de D = (6 cdot 23134, 1 + 14 cdot 23134, 3 - 6 cdot 23134) , podemos encontrar as coordenadas do ponto D = ( 138134, 1 + 322134, 3 - 138134 ) :
D = ( 6967, 134 + 322134, 402 - 138134 )
Simplificando:
D = ( 6967, 456134, 264134 )
D = ( 6967, 22867, 13267 )

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a equação vetorial da altura usando o ponto AD = D - A = ( 6967 - 3, 22867 - 3, 13267 - 3 ) e o vetor AD = ( 69 - 20167, 228 - 20167, 132 - 20167 ) :
AD = ( -13267, 2767, -6967 )

Resposta

As equações simétricas da reta suporte da altura relativa ao lado x - 3-132/67 = y - 327/67 = z - 3-69/67 são:
x - 3-132 = y - 327 = z - 3-69
Ou simplificando os denominadores:

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