Para o triângulo de vértices , e , em cada item, faça o que se pede.
Determine as equações simétricas para a reta suporte da altura relativa ao lado , para o caso em que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A tarefa é encontrar as equações simétricas da reta que representa a altura relativa ao lado . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma altura em um triângulo. A altura relativa a um lado é uma linha que passa por um vértice e é perpendicular a esse lado. No nosso caso, queremos a altura que parte do vértice e é perpendicular ao lado .
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta . Os pontos e têm coordenadas:
O vetor diretor é dado por:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a . Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar zero.
Vamos chamar o vetor diretor da altura de . Então:
Passo 5
Além disso, o ponto está na altura, então a equação vetorial da altura pode ser escrita como:
Onde é um parâmetro real.
Para encontrar , precisamos de mais uma condição. Sabemos que a altura intercepta o lado em algum ponto . Portanto, o vetor também deve ser perpendicular a .
Passo 6
Vamos encontrar o ponto na reta tal que seja perpendicular a . A equação paramétrica de é:
O vetor é:
Passo 7
Para que seja perpendicular a , o produto escalar deve ser zero:
Passo 8
Agora que temos o valor de , podemos encontrar as coordenadas do ponto :
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, podemos escrever a equação vetorial da altura usando o ponto e o vetor :
Resposta
As equações simétricas da reta suporte da altura relativa ao lado são: