Para o triângulo de vértices , e , em cada item, faça o que se pede.
Determine as equações simétricas para a reta suporte da altura relativa ao lado , para o caso em que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices , e . A tarefa é encontrar as equações simétricas da reta que representa a altura relativa ao lado . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma altura em um triângulo. A altura relativa a um lado é uma linha que passa por um vértice e é perpendicular a esse lado. No nosso caso, queremos a altura que parte do vértice e é perpendicular ao lado .

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor diretor da reta . Os pontos e têm coordenadas:
O vetor diretor é dado por:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a . Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar zero.
Vamos chamar o vetor diretor da altura de . Então:

Passo 5

Além disso, o ponto está na altura, então a equação vetorial da altura pode ser escrita como:
Onde é um parâmetro real.
Para encontrar , precisamos de mais uma condição. Sabemos que a altura intercepta o lado em algum ponto . Portanto, o vetor também deve ser perpendicular a .

Passo 6

Vamos encontrar o ponto na reta tal que seja perpendicular a . A equação paramétrica de é:
O vetor é:

Passo 7

Para que seja perpendicular a , o produto escalar deve ser zero:

Passo 8

Agora que temos o valor de , podemos encontrar as coordenadas do ponto :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a equação vetorial da altura usando o ponto e o vetor :

Resposta

As equações simétricas da reta suporte da altura relativa ao lado são:
Ou simplificando os denominadores:

Exercícios relacionados

Ache equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano nos casos:
Nos exercícios seguintes determine os valores dos parâmetros envolvidos de forma que as matrizes sejam inversíveis.
(b)
O determinante da matriz é positivo em qual intervalo de ?
Determine, caso exista, o ponto de interseção das retas e :
e