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Calcule o determinante genérico da matriz . Utilize a soma , no qual, é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante genérico de uma matriz 3x3 usando a soma envolvendo o símbolo de Levi-Civita. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o determinante, como ele é calculado e como o símbolo de Levi-Civita funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada, como a matriz 3x3 dada, é um número que pode nos dizer várias propriedades sobre a matriz, como se ela é invertível. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado de várias maneiras, e uma delas envolve o símbolo de Levi-Civita.
Passo 3
Agora, o que é o símbolo de Levi-Civita, representado por ? Ele é uma função que depende de três índices e tem valor:
se for uma permutação par de ,
se for uma permutação ímpar,
se houver índices repetidos.
Isso nos ajuda a considerar todas as permutações possíveis dos índices e a atribuir o sinal correto a cada uma.
Passo 4
A fórmula para o determinante usando o símbolo de Levi-Civita é:
Isso significa que vamos somar todos os produtos possíveis dos elementos da matriz, cada um multiplicado pelo símbolo de Levi-Civita correspondente aos seus índices.
Passo 5
Vamos listar todas as permutações possíveis de de 1 a 3:
– par ()
– ímpar ()
– ímpar ()
– par ()
– par ()
– ímpar ()
Permutações com índices repetidos não contribuem porque nesse caso.