Determinantes

1
Calcule o determinante genérico da matriz . Utilize a soma , no qual, é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante genérico de uma matriz 3x3 usando a soma envolvendo o símbolo de Levi-Civita. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o determinante, como ele é calculado e como o símbolo de Levi-Civita funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada, como a matriz 3x3 dada, é um número que pode nos dizer várias propriedades sobre a matriz, como se ela é invertível. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado de várias maneiras, e uma delas envolve o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Agora, o que é o símbolo de Levi-Civita, representado por ? Ele é uma função que depende de três índices e tem valor:
  • se for uma permutação par de ,
  • se for uma permutação ímpar,
  • se houver índices repetidos.
Isso nos ajuda a considerar todas as permutações possíveis dos índices e a atribuir o sinal correto a cada uma.

Passo 4

A fórmula para o determinante usando o símbolo de Levi-Civita é:
Isso significa que vamos somar todos os produtos possíveis dos elementos da matriz, cada um multiplicado pelo símbolo de Levi-Civita correspondente aos seus índices.

Passo 5

Vamos listar todas as permutações possíveis de de 1 a 3:
  1. – par ( )
  2. – ímpar ( )
  3. – ímpar ( )
  4. – par ( )
  5. – par ( )
  6. – ímpar ( )
Permutações com índices repetidos não contribuem porque nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, somamos todos esses termos:

Resposta

Portanto, o determinante genérico da matriz é:

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Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Produto Vetorial

1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Sabendo que e que e formam ângulo de , determinar:
(a) ;
(b) .
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta e o plano .
(d)