Determinantes

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Calcule o determinante genérico da matriz A=(ccca11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33). Utilize a soma Dn=sumi j k ldots epsiloni j k ldots a1 i a2 j a3 k ldots, no qual, epsiloni j k ldots é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante genérico de uma matriz 3x3 usando a soma envolvendo o símbolo de Levi-Civita. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o determinante, como ele é calculado e como o símbolo de Levi-Civita funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada, como a matriz 3x3 dada, é um número que pode nos dizer várias propriedades sobre a matriz, como se ela é invertível. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado de várias maneiras, e uma delas envolve o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Agora, o que é o símbolo de Levi-Civita, representado por ? Ele é uma função que depende de três índices e tem valor:
  • se for uma permutação par de ,
  • se for uma permutação ímpar,
  • se houver índices repetidos.
Isso nos ajuda a considerar todas as permutações possíveis dos índices e a atribuir o sinal correto a cada uma.

Passo 4

A fórmula para o determinante usando o símbolo de Levi-Civita é:
D = sumi,j,k=1^3 epsilonijk , a1i , a2j , a3k
Isso significa que vamos somar todos os produtos possíveis dos elementos da matriz, cada um multiplicado pelo símbolo de Levi-Civita correspondente aos seus índices.

Passo 5

Vamos listar todas as permutações possíveis de de 1 a 3:
  1. – par ( )
  2. – ímpar ( )
  3. – ímpar ( )
  4. – par ( )
  5. – par ( )
  6. – ímpar ( )
Permutações com índices repetidos não contribuem porque nesse caso.

Passo 6

Agora, vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para epsilon123 , a11 , a22 , a33 = (+1) , a11 , a22 , a33 :
epsilon132 , a11 , a23 , a32 = (-1) , a11 , a23 , a32
  1. Para epsilon213 , a12 , a21 , a33 = (-1) , a12 , a21 , a33 :
epsilon231 , a12 , a23 , a31 = (+1) , a12 , a23 , a31
  1. Para epsilon312 , a13 , a21 , a32 = (+1) , a13 , a21 , a32 :
epsilon321 , a13 , a22 , a31 = (-1) , a13 , a22 , a31
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, somamos todos esses termos:
D = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31

Resposta

Portanto, o determinante genérico da matriz D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33 é:

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