Sabendo que |u|=raiz2,|v|=raiz3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4, determinar:
(a) |lang<=(2 u-v),(u-2 v)rang<=|;
(b) |u-2 v|.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular duas coisas envolvendo vetores u e v. Sabemos que:
  • O comprimento de u é |u| = raiz2.
  • O comprimento de v é |v| = raiz3.
  • O ângulo entre u e v é 3pi4.
Vamos precisar usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas de vetores para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): calcular |lang<= (2u - v), (u - 2v) rang<=|.
O produto interno lang<= a, b rang<= entre dois vetores pode ser expandido usando a distributividade. Vamos aplicar isso aos vetores (2u - v) e (u - 2v).

Passo 3

Vamos expandir o produto interno:
lang<= 2u - v, u - 2v rang<= = 2lang<= u, u rang<= - 4lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + 2lang<= v, v rang<=
Note que lang<= v, u rang<= = lang<= u, v rang<=.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • lang<= u, u rang<= = |u|^2 = (raiz2)^2 = 2
  • lang<= v, v rang<= = |v|^2 = (raiz3)^2 = 3
  • lang<= u, v rang<= = |u| cdot |v| cdot cos(3pi4) = raiz2 cdot raiz3 cdot (-raiz22) = -raiz122 = -raiz3

Passo 5

Substituindo na expressão expandida:
2 cdot 2 - 4 cdot (-raiz3) - (-raiz3) + 2 cdot 3 = 4 + 4raiz3 + raiz3 + 6 = 10 + 5raiz3
Agora, tomamos o valor absoluto:
|10 + 5raiz3| = 10 + 5raiz3

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b): calcular |u - 2v|.
A norma de um vetor é dada por:
|a| = raizlang<= a, a rang<=
Então, precisamos calcular o produto interno lang<= u - 2v, u - 2v rang<=.

Passo 7

Expandindo o produto interno:
lang<= u - 2v, u - 2v rang<= = lang<= u, u rang<= - 4lang<= u, v rang<= + 4lang<= v, v rang<=
Substituindo os valores que já calculamos:
2 - 4(-raiz3) + 4 cdot 3 = 2 + 4raiz3 + 12 = 14 + 4raiz3

Resposta

(a) |lang<=(2 u-v),(u-2 v)rang<=| = 10 + 5raiz3
(b) |u-2 v| = raiz14 + 4raiz3

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