Sabendo que e que e formam ângulo de , determinar:
(a) ;
(b) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular duas coisas envolvendo vetores e . Sabemos que:
  • O comprimento de é .
  • O comprimento de é .
  • O ângulo entre e é .
Vamos precisar usar conceitos de produto interno (também conhecido como produto escalar) e normas de vetores para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): calcular .
O produto interno entre dois vetores pode ser expandido usando a distributividade. Vamos aplicar isso aos vetores e .

Passo 3

Vamos expandir o produto interno:
Note que .

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:

Passo 5

Substituindo na expressão expandida:
Agora, tomamos o valor absoluto:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b): calcular .
A norma de um vetor é dada por:
Então, precisamos calcular o produto interno .

Passo 7

Expandindo o produto interno:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Determinantes

1
Calcule o determinante genérico da matriz . Utilize a soma , no qual, é o símbolo de Levi-Civita que para permutações pares vale 1, para permutações impares vale -1 e para permutações nulas vale 0.
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:

Produto Vetorial

1
Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos e .
Obtenha a medida angular em radianos entre a reta e o plano .
(d)